河海大学线性代数试卷

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1、2007年河海大学线性代数试卷-12007年11月一．填空题（每小题3分，共15分）1．设，则24。2．设为三阶方阵，且，则500。3．设是阶矩阵，的秩，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数是　　n-r　　　。4．设3阶方阵的特征值是1，2，3，则的伴随矩阵的特征值是38，22，18。5．设二次型，则二次型的系数矩阵为二．选择题（每小题3分，共15分）1．设是33矩阵，且，又，则（B）。A．1；B.2；C.3；D.不确定2.设向量组线性无关,则下列向量组中线性无关的是(D)。A．；B．；C．；　　D．3．设是3阶方阵，且，是的伴随矩阵，则（A）。A．；B.；C.；D．4．设，则（C）。A

2、．　；　　　　　　　B．　；C．　；　　　　　D．5．设都是阶方阵，且与相似,则（D）。A．；B．与有相同的特征值和特征向量；C．与都相似于一个对角矩阵；D．对任意常数,与相似三．计算题（共54分）1．（本题8分）计算行列式：　。解：D4=====1232．（本题10分）设为3阶方阵，已知，并且满足：，求矩阵。A*=

3、A

4、A-1（A*）-1=B=（A*）-1（E+A-1）A-1=（E+A-1）A-1=（A+E-1）A-1=（E+A-1）

5、A

6、==3A-1==B=3（本题14分）设方程组,试问分别为何值时(1)方程组有唯一解；(2)方程组无解；(3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式。解：（1）

7、-2且1时，方程组有唯一解。（2）=-2时，方程组无解。（3）=1时，有无量多解，通解：4．（本题12分）求矩阵特征值与特征向量。解(1)当λ=-5时特征向量可取为ξ1=（-1，-1，1）当λ=1时3取特征向量为ξ2=（1，1，0），ξ3=（1，1，0），5．（本题14分）设,,,,(1)求向量组的一组极大线性无关组；(2)求一组与向量组的极大线性无关组等价的单位正交向量组。（1）取即为的极大无关组。（2），则即为单位正交向量组。四．证明题（共10分）1．（本题5分）设线性无关，线性相关，证明：可由唯一地线性表示。因为α1，α2，…，β线性相关，所以在一组不全为0的数λ1，…，λm，λ，使得：

8、λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0下证λ≠0，假设λ=0，则λ1，λ2，…，λm不全为0，且λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0于是向量组α1，α2，…，αm线性相关，与已知矛盾，因此λ≠0从而：，即β由α1，α2，…，αm线性表示下证表示法的唯一性若β可由α1，α2，…，αm线性表示为两种形式β=k1α1+k2α2+…+kmαmβ=u1α1+u2α2+…+umαm两式相减得：（k1-u1）α1+…+（km-um）αm=0∵α1，…，αm线性无关，∴k1=u1(i=1,2,…,m)故表示法唯一2．（本题5分）设方阵满足：(1)；(2)；(3)，证明：是正定矩阵。证：∵AT=A，即

9、A为实对矩阵∵A2-A=0∴λ2-λ=0设λ为A的任一特征根（λ-1）λ=0∵∴λ≠0即λ=1∴A的特征根全大于0故A为正定阵3