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《工程高等代数答案--习题六》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题六A组1．填空题TT（1）已知向量a=(1,2,3),−b=−(4,,6),t[ab,]=7，则t=．7解．2（2）设x=4，A为正交矩阵，则Ax=．00解4．⎛a10⋯0⎞⎜⎟0a⋯0（3）设P为n阶可逆矩阵，A=⎜2⎟,B=PAP−13，则B的特征值为．⎜⋮⋮⋱⋮⎟⎜⎜⎟⎟00⋯a⎝n⎠333解aa,,⋯,a．12n32（4）已知3阶方阵A的特征值分别为1,1,2−，则矩阵B=A−2A的特征值是，B=．解−−1,3,0;0．（5）如果n阶矩阵A的元素全为1，那么A的n个特征值是．解n,0,0,⋯,0．⎛0−2−2⎞⎜⎟（6）矩阵22−2
2、的非零特征值是．⎜⎟⎜⎟⎝−2−22⎠解4．⎛0−10⎞⎜⎟−120042（7）设A=100，B=PAP，其中P为三阶可逆矩阵,则B−2A=．⎜⎟⎜⎟⎝00−1⎠⎛300⎞⎜⎟解030．⎜⎟⎜⎟⎝00−1⎠T（8）设A=(a)是实正交矩阵，且a=1，b=(1,0,0)，则线性方程组Ax=b的解是．ij1133×1T解(1,0,0)．22（9）二次型fxx(,)=x+2x−4xx的矩阵是．121212⎛1−2⎞解⎜⎟．⎝−22⎠222（10）二次型fxxx(,,)=x−2xx+2x−2xx+2xx+x的秩是．123112213233解2．222（
3、11）二次型f(x,x,x)=(x+x)+(x−x)+(x+x)的秩为．123122331解2．T（12）二次型f=xAx是正定的充分必要条件是实对称矩阵A的特征值都是．解正数．2．选择题（1）已知a=1,b=2,[ab,]=1，则向量a与b的夹角为．πππ（A）0；（B）；（C）；（D）．432解（C）．（2）n阶方阵A的两个不同的特征值所对应的特征向量．（A）线性相关；（B）线性无关；（C）正交；（D）内积为1．解（B）．⎛123⎞⎜⎟−1（3）设P为三阶可逆矩阵，A=894，λλλ,,是B=PAP的三个特征值，则λ+λ+λ⎜⎟123123
4、⎜⎟⎝765⎠的值为．（A）1；（B）10；（C）15；（D）19．解（C）．−1−1（4）设P为可逆矩阵，Ax=λx≠0，B=PAP，则矩阵B的特征值和特征向量分别是．−1−1−1（A）λ和x；（B）λ和x；（C）λ和Px；（D）λ和Px．解（C）．（5）设A是n阶实对陈矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向T−1量，则矩阵(PAP)属于特征值λ的特征向量是．T−1T−1（A）Pα；（B）Pα；（C）Pα；（D）(P)α．解（B）．（6）设λ,λ是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为αα,，则α，A(α+
5、α)线12121122性无关的充分必要条件是．（A）λ≠0；（B）λ≠0；（C）λ=0；（D）λ=0．1212解（B）．（7）设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列命题正确的是．（A）λE−A=λE−B；（B）A与B有相同的特征值与特征向量；（C）A与B都相似于一个对角矩阵；（D）对任意常数t，tE−A与tE−B相似．解（D）．（8）n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的．（A）充分必要条件；（B）充分非必要条件；（C）必要非充分条件；（D）既非充分也非必要条件．解（B）．⎛001⎞⎜⎟（9）设矩阵B=010，已
6、知矩阵A相似于B，则R(A−2)E与R(AE−)之和等于．⎜⎟⎜100⎟⎝⎠（A）2；（B）3；（C）4；（D）5．解（C）．⎛1111⎞⎛4000⎞⎜⎟⎜⎟11110000（10）设A=⎜⎟，B=⎜⎟，则A与B．⎜1111⎟⎜0000⎟⎜⎟⎜⎟⎝1111⎠⎝0000⎠（A）合同且相似；（B）合同但不相似；（Ｃ）不合同但相似；（Ｄ）不合同且不相似．解（A）．222（11）二次型fxxx(,,)=ax(+x+x)4+xx+4xx+4xx经正交变换x=Py可以化成标1231231213232准形f=6y，则a的值是．1（A）1；（B）2；（C）3；
7、（D）无法确定．解（B）．3．利用Schimidt正交化方法将下列向量组规范正交化．TTT（1）a=(1,2,1),−a=−(1,3,1),a=(4,1,0)−；123解先正交化Tb=a=(1,2,1)−，11[ba1,2]5Tb=a−b=(1,1,1)−，221[bb1,1]3[ba1,3][ba2,3]Tb=a−b−b=(2,0,2)，3312[bb1,1][bb2,2]再单位化得3b11Tb21Tb31Te==(1,2,1),−e==(1,1,1),−e==(1,0,1)．123b16b23b32⎛11−1⎞⎜⎟0−11（2）矩阵⎜⎟的列
8、向量组．⎜−101⎟⎜⎜⎟⎟⎝110⎠解先正交化，⎛1⎞⎜⎟0b=a=⎜⎟，11⎜−1⎟⎜⎜⎟⎟⎝1⎠⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟b=a−[ba1,
