[高等教育]工程高等代数答案--习题五

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1、习题五A组1．填空题（1）当方程的个数等于未知数的个数时，有惟一解的充分必要条件是．解因为是有惟一解的充要条件．故由可得．（2）线性方程组有解的充分必要条件是．解对方程组的增广矩阵施行初等行变换．所以方程组有解的充要条件是，即．（3）设阶方阵的各行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为．解令显然满足方程组，又因为，所以，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为32，k为任意常数．（4）设为阶方阵，，且的代数余子式（其中，；），则的通解．解因为，又，所以，并且有所以是方程组的解，又因为，可知方程组的通解为，其中c为任意常数．（5

2、）设，其中，，则非齐次线性方程组的解是．解　．（6）设方程有无穷多个解，则．解　．2．单项选择题（1）齐次线性方程组解的情况是．(A)无解；(B)仅有零解；(C)必有非零解；(D)可能有非零解，也可能没有非零解．答（C）．（2）设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，且为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是．(A)；(B)；(C)；(D)．32答（A）．（3）要使，都是线性方程组的解，只要为．(A)；(B)；(C)；(D)．答（A）．（4）已知是的两个不同的解，是相应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解是．(A

3、)；(B)；(C)；(D)．答（B）．（5）设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系是．(A)不存在；(B)仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量．答（B）．（6）设有齐次线性方程组和，其中，均为矩阵，现有4个命题：①若的解均是的解，则；②若，则的解均是的解；③若与同解，则；④若，则与同解．以上命题正确的是．（A）①，②；（B）①，③；（C）②，④；（D）③，④．答（B）．（7）设是矩阵，是矩阵，则线性方程组．（A）当时仅有零解；（B）当

4、时必有非零解；（C）当时仅有零解；（D）当时必有非零解．答（D）．（8）设是阶矩阵，是维列向量．若秩秩，则线性方程组．（A）必有无穷多解；（B）必有惟一解；（C）仅有零解；（D）必有非零解．答（D）．3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系32(1)解对系数矩阵施行初等行变换，有．与原方程组同解的方程组为或写为，其中为任意常数．所以，基础解系为．(2)解，与原方程组同解的方程组为32或写为其中，可取任意常数，故．所以，基础解系为．(3)解，，方程组组只有零解．(4)解32，与原方程组同解的方程组为或写为故．所以基础解系为．4．求

5、解下列非齐次线性方程组．(1)解对增广矩阵施行初等行变换，32所以．无解．(2)解，所以原方程组有解．与原方程组同解的方程组为故．(3)解，，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为所以原方程组的通解为32．(4)解，，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为故通解为．5．问取何值时，非齐次线性方程组(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？32解系数行列式．当且时，方程组有惟一解．当时，对增广矩阵施行初等行变换，则，故原方程组有解且有无穷多解．当时，对增广矩阵施行初等行变换,．所以方程组无解．6．非齐次线性方程组当取何值时有

6、解？并求出它的全部解．解对增广矩阵施行初等行变换，得，当且时，方程组无解．当时，有，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为32故原方程组的解为．当时，有与原方程组同解的方程组为故方程组的解为．7．设问为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解．解系数行列式．当且时，方程组有惟一解．当时，有，方程组有无穷多解，此时通解为32．当时，有，，故方程组无解．8．问为何值时，非齐次线性方程组(1)有惟一解，求出惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解，并写出通解．解方程组的增广矩阵当时，，方程组有惟一解．此时所

7、以，．当时，有，所以，当且时，，，方程组无解．32而当且时，有，，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为或写为故原方程组的通解为，其中为任意实数．9．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解．解，所以，令，则为基础解系，故方程组的通解为32，其中可取任意常数．10．设都是阶方阵，且．证明．证明设，则有．可见每个都是的解向量．因，可知的解空间的维数是，所以向量组的秩小于等于，从而，于是．11．已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．（1）证明方程组的系数矩阵的秩；（2）求的值及方程组的通

8、解．解（1）设是方程组的3个线性无关的解，其中　　　　　　　．则有，即是对应齐次线性方程组的解，且线性无关．（否则，易推出线性相关，矛盾）．所以，即．又矩阵中有一个2阶子式，所以．因此．（2）因为又，则对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，32，故原方程组与下面的方程组同解．选