全国数学竞赛试题详细参考答案

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案   题号   一   二  三 总分   1~5   6~10 11 12  13   14 得分           评卷人                 复查人              答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.  一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的

2、括号里.不填、多填或错填都得0分)  1.已知实数满足,则的值为().   (A)7(B)(C)(D)5  【答】(A) 解:因为,≥0,由已知条件得 ,, 所以7. 另解:由已知得:,显然,以为根的一元二次方程为,所以    故=  2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是().  (A)(B)(C)(D)    【答】(C)   解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数.由题意知 =>0,

3、即>4. 通过枚举知,满足条件的有17对.故.  3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有().  (A)6条(B)8条(C)10条(D)12条 (第3题) 【答】(B)   解:如图,大圆周上有4个不同的点A,B,C,D,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E,F中,至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,则它与A,B,C,D的连线中,至少有两条不同于A,B,C,D的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条. 当这6个点如图所示放置时,恰

4、好可以确定8条直线.  所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.  (第4题) 4.已知是半径为1的圆的一条弦,且.以为一边在圆内作正△,点为圆上不同于点A的一点,且,的延长线交圆于点,则的长为().  (A)(B)1(C)(D)a 【答】(B) 解:如图,连接OE,OA,OB.设,则  .   又因为,  所以≌,于是.   另解:如图,作直径EF,连结AF,以点B为圆心,AB为半径 作⊙B,因为AB=BC=BD,则点A,C,D都在⊙B上,   由 所以 5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使

5、得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有().    (A)2种(B)3种(C)4种(D)5种   【答】(D)  解:设是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.  首先,对于,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.   又如果(1≤i≤3)是偶数,是奇数,则是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数. 所以只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:   2,1,3,4,5;2,3,5,4,1;2,5,1,4,3

6、;   4,3,1,2,5;4,5,3,2,1. 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)  6.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:.若关于x的方程有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是.   【答】,或. 解:由,得,  依题意有  解得,,或. 7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是分钟.   【答】4.  解:设18路公交车的速度是米/分,小王行

7、走的速度是米/分,同向行驶的相邻两车的间距为米.   每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则.①   每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则. ②  (第8题5数,段成比例,所以) 由①,②可得,所以. 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.   8.如图,在△中,AB=7,AC=11,点M是B

8、C的中点,  AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为. (第8题答案5数,段成比例,所以

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