全国数学竞赛试题详细参考答案

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会　“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案　　　题号　　　一　　　二　　三　总分　　　1～5　　　6～10　11　12　　13　　　14　得分　　　　　　　　　　　评卷人　　　　　　　　　　　　　　　　　复查人　　　　　　　　　　　　　　答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.　2．解答书写时不要超过装订线.　3．草稿纸不上交.　　一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项

2、的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分）　　1．已知实数满足，则的值为（）．　　　（A）7（B）（C）（D）5　　【答】（A）　解：因为，≥0，由已知条件得　，，　所以7．　另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以　　　　故＝　　2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先　后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．　　（A）（B）（C）（D）　　　　【答】（C）　　　解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到3

3、6个二次函数.由题意知　＝＞0，即＞4.　通过枚举知，满足条件的有17对.故.　　3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有()．　　（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条　（第3题）　【答】（B）　　　解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定

4、的直线不少于8条．　当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．　　所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．　　（第4题）　4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．　　（A）（B）1（C）（D）a　【答】（B）　解：如图，连接OE，OA，OB．设，则　　．　　　又因为，　　所以≌，于是．　　　另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径　作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B上，　　　由　所以　5

5、．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．　　　　（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种　　　【答】（D）　　解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．　　首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．　　　又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．　所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5

6、种情形满足条件：　　　2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；　　　4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．　二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）　　6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．　　　【答】，或．　解：由，得，　　依题意有　　解得，，或．　7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间

7、发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．　　　【答】4．　　解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．　　　每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则．①　　　每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则．　②　　（第8题5数，段成比例，所以）　由①，

8、②可得，所以．　即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．　　　8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，　　AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．　（第8题答案5数，段成比例，所以