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《求解全微分方程的另一种方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第10卷第4期武汉纺织工学院学报Vol.10No.4..1997年12月JOURNAIOFWUHANTEXTllJE5&TINSTITUTEDee.1997求解全微分方程的另一种方法袁亚平(基础部),,,,,,,A,二yzdx+AZ二ydy十A3二y二d二摘要在高等数学教材中求全微分式()(劝()的原函数时,是用空间曲线积分来求的。本文提供了另外一种方法,利用这种方法,用不定积分就可求出原。函数关键词全微分不定积分原函数.2分类号0172设微分方程,,,,,,AL(-二夕z)d二+AZ(二夕z)d夕+A3(二夕z)dz=0(1),,。,Z3其中AAA
2、在空间曲面单连通区域存在连续偏导数令,,二,,,,,,(二y)一AL(二y二)+AZ(.Ty二)+A3(二y二)冗孑夕万则方程(1)左边为全微分式的充要条件是冗的旋度为零,即。寸?少:?k.Al一七一勺沁二A净一犷(2)AZ3A:它的一个原函数可用空间曲线积分来表示.,,矛,,。二,二一(y曰(),.了.1,二.,(,。)Al+Z+3z丁d‘Ad夕八d,,,,,这个线积分与连结两点(xoy。为))和(二yz)的路径无关因而有“,,二.、.二(二,)一fy「八:气‘,少。,z《,)d‘+‘AZ又‘,夕,‘o)d夕+A3(,夕,‘“!1】犷)d一一.yo
3、气方程(1)的通解为u(二,y,z)二c.本文再介绍求此类方程解的另一种方法,先举例说明如何利用。例1求微分方程(2二+夕)Z,+二+22少+2夕一62dz=0d()d()。的通解解由于:1997一08一,:1997一11一10收稿日期31修改稿收到日期袁亚平,男,1955年生,讲师;武汉,武汉纺织工学院(430073):第4期袁亚平求解全微分方程的另一种方法k少J刁J刁J日y日zZJ+y了+22Zy一62。,,。A;A:A3的不定积分此方程为全微分方程先计算+夕,丁(2二)d二一二2+习二+22+,丁()d夕=划2笋一,丁(2夕62)dz一2声一3
4、二2,。(为计算方便积分中省略了任意函数下同)三个积分中有重复项习和2笋,分别去掉一个,然后相加,得二2++2一3二秒笋弓原方程通解为犷2++2一3=‘习男尹例2求微分方程。(1+了一、)d犷+(了,矛、一二)d,+(犷2·2,2)dZ一。的通解一告解此方程满足条件(2),故左边为全微分式。先求不定积分。1,‘一一」LI十Xe份)d工二J十不万丁e份乙,(了’e,、一d,一了’。,、1二)合一y百(了’·,,,’dZ-11一下~一e气,泛告了一y乙百三个不定积分中,重复项只取一项,然后相加,得.1,,1一一一,十百xe份一百yz:从而原方程通解为l2
5、e21犷+百丁今一百yZ一C。:现将此方法证明如下,,,,设方程(1)的左边为一全微分式即存在一函数u(xyz)使,du=Ald了+AZd夕+A3dz,,了,,二。(二,二)一(y)J.,二。,(。,。)A,d“+AZd+3z{夕Ad该线积分与路径无关,于是,,、.二。(二,二)一fy「__丁ALL乙y0,z0)dx十!AZLx,y,zo)dy十!A3弋乃y,z)dz·一二0厂yo,,,将上式分别对xyz求偏导数有,,、,,、、,、、刁y“,刁厂「、刁厂「、,,,,.)’’二。,’’A‘(x’‘)一一A,(了y。“。)+J,八’、了夕““’。y+J八
6、’、了少“’。z‘苏石LJ‘LJ,,,,,,AZ(犷:·,一一、2(犷,一)·A3‘了,·,d·;恶号〔狡〕90武汉纺织工学院1997年刁u,,,,A3(了少z)二A3(了yz)Jz,,,再对A,(二yz)求不定积分得刁厂y,,、」.L,,z.=,,。,20f、}J八(二夕)d二JA(x夕)d二+{二2、,y,20/uyd了+了}】八J}}口、.从,/夕工,,A3(了y·’d·dX二0〕}_内’,场,z一x,夕。,20二+AZx,夕,20夕+人fA3了,y,+笋,=厂A()d{()d(z)dz(v一,y‘同理,,(/夕·,d,一,,人介
7、,,,,卜垃
8、AZ(二夕20)d夕+A3(x夕z)dz+甲2(Jz);,,3(了:·,dz一3,,,协狡A(二夕z)dz+少3(二夕),,,,,,23上面三个不定积分中取不同项相加去掉沪沪甲得夕rZ,,,,3z.L,“,““十。,。A(了yz0)dy+A(了yz)d丁A‘y)“了,J{二一,升;十Z+3z:这恰好是全微分式Ad二AdyAd的一个原函数_,、..,、.ffy「“一“,,‘一,。‘,《,,,十。,、,’,,“”+二。,’,,之z(了y)JA又‘y“)“了JA气了y)“yJAL‘y,“故方程(1)的通解为u(犷,夕,z)=c.证毕利用该方法,只用不定积分
9、就能比较简便地求出全微分方程的通解。在讲授高等数学中的曲线积分和微分方程这部分内容时,作为一种补充方法让学生
