2006年复变函数与积分变换试题及解答

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1、2006—2007学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷（A）（闭卷）院（系）___________专业班级__________学号__________姓名___________考试日期：2006年11月25日考试时间：19∶00～21∶30题号一二三四五六七八九十总分得分得分一、填空题（每小题3分，共24分）评卷人2i1．(1+i)的值为___________________，主值为______________.ππ2．

2、z

3、<3所表示的平面点集是区域吗？__________是43单连域还是多连域？_____________.z3e⋅zsin

4、z3．∫dz=_______.

5、z

6、=1(z−2)44．在映射w=iz下，集合D={z:

7、1≤

8、z

9、≤2,0≤argz≤π}的像集为：_____________________________________________________.π5．z=kπ+(k=0,±1,±2⋯)为tanz的____阶极点.216．在z=1+i处展开成Taylor级数的收敛半径为_______0z(4−3z)7．f(t)=sint+δ(t)的频谱密度函数F(ω)=____________________.⎧1t>0−t8．已知f1(t)=eu(t),f2(t)=u(t)，其中u(t)=⎨

10、，则⎩0t<0f(t)∗f(t)=___________.12得分二、（6分）设a、b是实数，函数f(z)=axy+(bx2+y2)i在复平面解析评卷人出a、b的值，并求f′(z).22三、（8分）验证u(x,y)=x−y+2xy是调和函数，并求以u(x,y得分评卷人解析函数f(z)，使f(i)=−1+2i.得分四、（6×4=24分）计算下列各题：评卷人zesinz1．∫C2dz，C为正向圆周

11、z−i

12、=2.z1ez12．∫dz，C为正向圆周

13、z

14、=.C1−z2π2cosθ+13．∫dθ05+4cosθ∞cosx4．dx∫−∞(x2+4)(x2+1)1得分五、（10分）将

15、f(z)=在z=0与z=i处展成Laurent级数01z(z−i)评卷人z六、（6分）试求z平面的下半平面Imz<0在分式线性映射w=得分z评卷人区域.⎧π得分⎪002t⎧y′′−3y′+2y=e得分八、（8分）用Laplace变换求解常微分方程：⎨⎩y(0)=0,y′(0)=1评卷人得分评卷人九、（6分）证明题：设f(z)在

16、z

17、<1内解析，在

18、z

19、≤1上连续，试证21(1−zξ)时，(1−

20、z

21、)f(z)=∫f(ξ)⋅dξ2πi

22、ξ

23、=1ξ−z复变函数与积分变换试题解答2006.11.系别_

24、__________班级__________学号__________姓名___________题号一二三四五六七八九总分得分得分评卷人一、填空题（每小题3分，共24分）ππ−(+4kπ)+iln2−+iln21．(1+i)2i的值为e2，主值为e2.ππ2．

25、z

26、<3所表示的平面点集是区域吗？是，单连域还是多连域？43z3e⋅zsinz3．∫=dz=0。

27、C

28、1(z−2)44．在映射w=iz下，集合D={z

29、1≤

30、z

31、≤2,0≤argz≤π}的像集为：π3w={w

32、1≤

33、w

34、≤2,≤argw≤π}.22π5．z=kπ+(k=0,±1,±2⋯)为tanz

35、的1阶极点。21106．在z=1+i处展开成Taylor级数的收敛半径为.0z(4−3z)37．f(t)=sint+δ(t)的频谱密度函数F()ω=jπδω[(+−1)δω(−1)]1+。⎧1t>0−t−t8．已知f1(t)=eu(t),f2(t)=u(t)，其中u(t)=⎨，则f1(t)∗f2(t)=(1−e)u(t)。⎩0t<0得分评卷人二、（6分）设a、b是实数，函数f(z)=axy+(bx2+y2)i在复平面解析，则分别求a、b之值，并求f′(z).22解：∵f(z)是复平面上的解析函数，则u(x,y)=axy,v(x,y)=bx+y在平面上满足C—即：u=v,u

36、=−vxyyx故ay=2yax=−2bx对∀x,y成立，22⇒a=2,b=−1,f(z)=2xy+(y−x)if′(z)=u+iv=2y+i(−2x)=zi(x+iy)=−2izxx得分评卷人三、（8分）验证22u(x,y)=x−y+2xy是z平面上的调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数，使f(i)=−1+2i.解：（1）u=2,u=−2⇒u+u=0故u(x,y)是调和函数。xxyyxxyy（2）利用C—R条件，先求出v(x,y)的两个偏导数。∂v∂u∂v∂u=−=−2x+2y==2x+2y∂x∂y∂y∂x(x,y)则