基于吸收边界条件的有限元方法和离散切比雪夫展开的二维缺陷识别

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1、第22卷第6期计算力学学报Vo1．22，No．62005年12月ChineseJournalofComputationalMechanicsDecember2005文章编号：1007—4708(2005)06—0762—05基于吸收边界条件的有限元方法和离散切比雪夫展开的二维缺陷识别常建梅，冯怀平，冯文杰(1．石家庄铁道学院土木工程分院050043；2．石家庄铁道学院力学与科学系050043)摘要：结合考虑了吸收边界条件的有限元正演方法，通过离散切比雪夫多项式在特定离散点的展开逼近待识别函数，实现了无限区域内二维缺陷的识别。正问题计算中引入的吸收边界条件虽

2、然不能严格地模拟无限域对近场波动的影响，但能够以满足实际需要的精度模拟这一影响，且具有解耦特性，极大地简化了数值计算，在反演计算中，离散点取在切比雪夫多项式的零点处，使逼近时最大偏差最小，数值算例表明此方法的有效性。关键词：吸收边界条件；有限元；离散切比雪夫多项式；缺陷识别中图分类号：0347文献标识码：A1引言2基本原理、散射场的计算和反演方法当今，缺陷识别问题是应用力学研究领域极为2．1基本原理活跃的前沿课题之一，无论在理论研究还是在工程如图1所示，对于平面应变的动力问题，在各应用中，都受到人们的很大关注，并且已广泛地应向同性非均匀弹性介质中传播的波动

3、方程为用于许多领域。如在材料和医疗等方面，利用超声ai(Aaku^)+[(“+a“，)-1+F—10波对材料及人体进行无损伤探测及医学成像；在岩式中“为位移分量，为体力分量，和是材料土工程中，利用弹性波反射信号做地质超前预报，的拉梅系数，P是密度，P。表示背景介质的密度，砼参数检测，桩基质量检测等；在军事上，通过雷达詈一，一21li，假定一0，当体力为0时，及声纳技术，利用电磁波和声波的反射信号确定目设Eaku一一如一，则上式通过变分变换可表示为标的位置和形状等[1]。Born直接反演方法基于线性原理，过程简单，运算速度快，但仅适用弱散射情【高J+0(1)

4、况。本文利用有限元方法计算散射波场，正问题的式中(r)一，E—pC2n(r)一1计算中引入一种新的吸收边界条件，此吸收边界条件虽然不能严格地模拟无限域对近场波动的影响，但能够以满足实际需要的精度模拟这一影响，且具有解耦特性，极大地简化了数值计算，在反演计算中通过离散切比雪夫多项式逼近待识别参数，离散点取在切比雪夫多项式的零点处，这样的逼近使最大偏差最小，从理论分析上可知与一般的多项式展开方法相比，获得同样的精度所需的多项式项数要少得多。最终用最小二乘法建立目标函数，通过迭代实现二维缺陷的识别。收稿日期：2003一ll—l0；修改稿收到日期：2004一Ol一

5、20作者简介：常建梅(1976一)，女．讲师，硕士．冯文杰(1967一)．男，教授，博士．图l散射示意图Fig．1Sketchmapforscattering第6期常建梅，等：基于吸收边界条件的有限元方法和离散切比雪夫展开的二维缺陷识别763k。一_O9当波在无界区域内传播时，应满足Sommer—，假设)一，e(r)一1(2)feld辐射条件r—■o。l‘+jk0~l=Oo运用有限元方法，用有界区域代替无界区域时，在人为的边已知背景介质的参数为(r)和￡(，)，未知介界上须附加一定的边界条件，此条件应使得波的质参数为(r)和￡(r)，参考介质参数为和￡。，

6、将传播过程中不在边界上发生反射。在这方面有许多已知介质参数与未知介质参数间的差别通过参考专家做了研究，本文通过引入二阶BGT算子B近介质参数和￡。正规化为下式引：似Sommerfeld辐射条件引。(r)一一一(r)一(r)0"o0"o。吼一(杀。+杀。+一o1(r)一掣￡0一￡0一)一一(3)(7)从式中可以看出，只有当坐标位于未知的介质中通过变换，上式得时，(，)和掂(r)不为零值，将式(2)和式(3)代入一式(1)，得ss一=·()+ko2~4—0(4)+5+7ko+假设总波场由入射波场和散射波场组成：声(r)一，(r)+(r)由Green理论，可得式

7、(4)的解(+))(8)声(，)一是：I[(r)一1]4(s)Gdxdy+将式(8)代人式(6)，口J将万程组写成矩阵的形式：I·([(r)一1]声(s)}Gdxdy+(一志：丁+A+jB){}一(一志：丁){声}(9)式中I3-~(s)K(r，s)dxdy+是：I(s)(r，s)dxdy一J力fIDⅣ．lⅣdzd，丁一J力fNkNidzd式中的积分区域和S分别表示全部的区域和待一吉一)’捌识别的区域，G表示格林函数，取参考介质参数为和￡，且假设只有为待识别的参数，得到：丁一一∑l(1)N,Ndxdy口D(r)一k：I￡(s)G(志。lr—s1)4(s)d

8、xdy(5)2．2散射场的计算A一肌吉+根据入射波满足的方程。+k