概率论与数理统计2-2-zh

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1、第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量及其分布律二、常见的离散型随机变量1.（0-1）分布（已讲）2.二项分布（已讲）3.泊松分布4.几何分布实例1一本书中的任意一页里的印刷错误数.实例2一电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数.实例3某一医院一天内的急诊病人数.实例4某一地区在一天的某一时间S.Poisson[法]间隔内发生的交通事故数.(1781~1840)实例5一块放射性物质在某一时间间隔内的经过计数器的粒子数..……“我建立了描述随机现象的一种概率分布.”3.泊松(Poisson)分布(1)定义设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,

2、且其分布律为kP(Xk)e,k0,1,2,,k!其中常数>0，则称X服从参数为的泊松分布,记X~().kk(2)分布律的验证eeee1.k0k!k0k!(3)概率背景泊松分布的图形特点例1设随机变量X服从参数为的泊松分布,且P(X=1)=P(X=2).求P(X=4).k解X的分布律为P(Xk)e,k0,1,2,,k!122P(X=1)=P(X=2)ee201!2!0(舍),2.42222P(X4)ee0.09022.4!34.几何

3、（Geometric）分布(1)定义设随机变量X的分布律为P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…(0

4、(1-p)2p，…….X的分布律为P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…例3对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，X表示所需射击次数．试求X的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率．解随机变量X的分布律为k1P(Xk)0.360.64,k1,2,.k1P(X2)0.360.64.k2或P(X2)1P(X1)10.640.36.例4某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率.解设X表示命中的次数,则X~b(400,

5、0.02).kk400kP(Xk)C0.020.98,k0,1,,400.400P(X2)1P(X0)P(X1)40039910.984000.020.98=0.9972.1.P{X≥2}≈0.9972很接近于1.虽然每次射击的命中率很小，但如果射击次数足够多，则击中目标至少2次几乎是肯定的.当试验次数足够大时，小概率事件迟早要发生.2.P{X<2}≈0.003很小.如果在400次射击中，击中目标的次数却不到2次，则根据实际推断原理（小概率原理）小概率事件在一次试验中基本上不会发发生，有理由怀疑“每次射击的命中率为0.

6、02”这一假设，即认为每次射击的命中率达不到0.02.计算例4某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率.解设X表示命中的次数,则X~b(400,0.02).kk400kP(Xk)C0.020.98,k0,1,,400.400P(X2)1P(X0)P(X1)40039910.984000.020.98=0.9972.泊松定理设0是一个常数,n是任意正整数，设np,则对任一固定的非负整数k,有nkkknklimCp(1p)e.nnnnk!证明kknk设p

7、Cp(1p)n.nnnnknkn(n1)(nk1)k11k!nnnknkn(n1)(nk1)nk11xxk!nnnlimn1ne.knk12k1111111k!nnnnnk当n时，上式的极限为e.k!泊松定理设0是一个常数,n是任意正整数，设np,则对任一固定的非负整数k,有nkkknklimCp(1p)e.

8、nnnnk!上述定理表明当n很大、p很小时有以下的近似kkknkCp(1p)e,其中np