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1、浅析高二(下A)排列与组合中的两大难点摘要:本文对人民教育出版社出版的高二(下A)第十章排列与组合中的”环行涂色”和”错位排列”作了一定的完善,主要给出了”环行涂色”和”错位排列”的排列数的递推公式和通项公式,从而解决了高中生心目中对排列与组合部分的两大难点,使得他们面对这两种问题就能迎刃而解。关键词：环行涂色；错位排列；递推公式；通项公式中图分类号：O133Thetrayanalysestwo(godownA)hightwobigdifficultpointinrrangingandconstitutingYuec
2、hunhongTongliangmiddleschool,Chongqing401331Abstract:Circumnavigationinarrangingthemainbodyofabookandconstitutingtotwo(godownA)tenthhighchaptersthatthepeople'seducationpresspublishes"scribblesthecolor"and"themalpositionarrangement"havingdonecertainimprovingandp
3、erfecting,andtherecursionformulahavinggivencircumnavigationout"thenumberofpermutationsscribblingthecolor"and"themalpositionarrangementmainly"exchangingitemformula,theyfacethistwokindsproblemswilldointhementalviewhavingresolvedahighschoolstudenttherebytoarrangin
4、gtwobigdifficultpointofpartandconstituting,beingthereforelikelytobeeasilysolved.Keywords:Annularityspreadsacolor,Malpositionarrangement,Recursionformula,Arrangewithcombination一、引言“环行涂色”和“错位排列”在排列与组合中居于重要地位,尤其是在实际生活中的应用广泛存在。许多的规划及其方案问题都归结为“环行涂色”与“错位排列”,因此给出”环行涂色
5、”和“错位排列”的递推公式和通项公式是及其必要的。在现行的高中教材中都没有对”环行涂色”和”错位排列”做专题的研究，然而在习题中却大量出现，并且在高考试题中也是经常出现。本文在对教材的研究和大量习题的解答以及相关资料和文献的基础上，得出了“环行涂色”和“错位排列”的递推公式和通项公式，解决了广大高中生对排列与组合中两大难点。二、基础知识（—）环形涂色环形涂色问题又称为多边形的涂色问题,在一般的题型中,可将题意抽象为环形涂色问题,该问题的一般化为：用m(m)种不同颜色给n边形各顶点涂色,且相邻顶点不同色,则不同的涂色方
6、案有种----------------------------------------------------------------------------------------定理一：设环形涂色的方案数为，则的递推公式为AAAAAAA证明：如右图所示:在处有种涂色方案，在处有种涂色方案,此时考虑也有种涂色方案在此情况下有两种情况：情况一:A与A同色,此时相当于A与A重合,这时问题转化为种不同颜色给边形涂色,即为a种涂色方案;情况二:A与A不同色,此时问题就转化为用种不同颜色给边形的各顶点涂色,且相邻顶点不同色,
7、即此时的情况就是。根据分类原理可知m(m-1)，且满足初始条件:=m(m-1)(m-2)即递推公式为定理二：设环形涂色的方案数为，则的通项公式为证明：根据定理一的递推公式，则有所以所以所以例1:用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田字”形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格不同色，如果颜色可以重复使用，共有多少种不同的涂色方法？1243解：此题抽象为“涂色问题”故由定理可知例2:如图所示:某城市在中心654433321广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样
8、颜色的花,不同的栽种方法有多少种?解:此问题也为“涂色问题”,根据“大度优先原则”对区域1,有C种涂色方案,对区域2,3,4,5,6就可以看作是“环行涂色问题”,即用3种颜色给涂色,且相邻区域的颜色不同,则由”环行涂色”问题可知a=(3-1)+(-1)(3-1)=32-2=30,所以总的涂色数为C30=120种.即不同的栽种方案为120种。（二
