《全错位排列》word_文档

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1、《全错位排列》研究一得理科实验班黄回銮徐博强刘益佳指导教师史立莉一、问题的引入课余，我们看排列组合问题时，常遇到受限元素，受限位置的简单问题。如5个学生站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾有多少种不同排法，或上午5节课，数学、体育、政治、语文、化学。体育不排在第一节，数学不排在最后一节，有多少种不同排法。对这类问题的解决，我们已很熟练。甲乙甲、乙或体育、数学是受限元素，排头、排尾或第一节，第五节是受限位置，用排除法较简明，只须重视排除时重复排除就可以了。如图：不考虑受限元素，受限位置时，5个人站

2、成一排有P55种不同排法。要除去甲在排头的P44种不同排法，此时已含乙站在排尾的P33种排法，然后再排除乙站在排尾的P44种不同排法。再加上重复排除的P33种不同排法，故可得出结论：不同的排法有P55-2P44+P33=78种二、课题的提出5个元素有2个元素受限，有2个位置受限，我们考虑若将此题深化，若5个元素都受限，都分别受限在不同的位置上。即5个编号分别为1、2、3、4、5的学生排成一排，1不站在1号位，2不站在2号位…5不站在5号位，即每人均不站在与其编号相对应的位置上，我们称符合这样限制

3、条件的排列为全错位排列，那这样的全错位排列有多少种？如果有n个受限元素，又该如何解呢？我们用排除法去解，很难得出正确结论，重复的情况很复杂，很难理出头绪，我们三人决心研究《全错位排列》排列数计算问题。带着这个问题我们请教了指导老师史立莉。三、课题研究史老师指导我们学习排列、组合数学归纳法及数列有关知识，鼓励我们大胆探究。课余我们在一块探讨研究，用不完全归纳法试图找出规律，经推理演绎，初步得出一个不成熟的结论，供大家探讨，以期抛砖引玉。四、构建命题命题：设n个编号为1、2、3、…i…j…n的不同元

4、素a1、a2、a3…ai…aj…an，站在一排，且每个元素均不站在与其编号相对应的位置，这样的全错位排列数为Tn。则Tn=(n-1)(Tn-1+Tn-2)说明：Tn-1,Tn-2分别表示n-1个或n-2个不同元素全错位排列数。证明：在n个不同元素中任取一个元素ai其不站在与其编号相对应的i位，必站在剩下n-1个位置上，ai有n-1种站法。对ai每一种站法，如ai站在j位，对应j位的元素aj的站位总有两种情况：第一种情况：如图：位置：123…i…j…najaiai站在j位，aj站在i位，元素ai，

5、aj站位已定，还剩n-2个元素，每个元素均有一个不能站的位置，它们的站位问题就转化为n-2个元素全错位排列数，应有Tn-2种。第二种情况：如图：位置：123…i…j…naiaj不能站i位ai仍站在j位，aj不能站在i位（第一种情况aj已站i位），此时只有ai一个元素站位确定除ai外，还有个n-1元素，每个元素均有一个不能站的位置，问题就转化为n-1个元素全错位排列，有Tn-1种。由乘法原理和加法原理可得：Tn=(n-1)(Tn-1+Tn-2)（n≥3）这样命题得证。有这样的递推公式就很容易解决上

6、面提出的问题。2112显然T1=0两个不同元素全错位排列只有一种排法T2=1233112123叁个不同元素全错位排列有二种不同排法T3=(3-1)(1+0)=2四个不同元素全错位排列有T4=(4-1)(2+1)=9(种)（写出九种站位情况，只写元素下标编号：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321）。五个不同元素全错位排列有T5=(5-1)(T4+T3)=4(9+2)=44(种)依此递推我们可解决n个不同元素均不站在与其编号相对应的位置上全错位排列

7、数这个问题。五、研究的意义“把复杂的问题弄简单了——贡献”。在数学领域内有很多复杂问题，很难一次性建模、解模，这就要切块、细化，分类、分层解决。就象有些定理的证明往往通过引理1、2……进行铺垫、分解，使原定理变的简单可证。我们推出求n个元素的全错位排列数的一个递推公式，就将n个元素全错位排列数转化为求n-1、n-2个元素全错位排列数，而初始数T1、T2、T3为已知，这样就解决了求n个元素全错位排列数的问题。掌握这种数学思想、思维方式，对于我们这些中学生十分必要，有利于我们学会学习，有利于我们将来

8、在激烈竞争中多一些生存的本领。课本、大纲历来是教育者、受教育者的依据。尤其是数学学科，中学生中不少感到高深莫测难以驾驭，我们此举也是向中学生朋友们呼吁，不要畏惧数学，只要改变学习方式，数学是可以变成“大众化数学”的。注⑴六、体会“命题”是否正确，在现实生活中是否有用，我们感到这并不重要，我们深切感受到探讨“命题”的过程，是我们认识上的一个飞跃，在史老师的指导下，我们主动地学习，获取知识，应用知识，解决问题。这种“研究性学习”使我们倍感创新的艰难和成功的喜悦。我们都是数学爱好者。现在数学的性质、用