专升本线性代数复习提纲和复习题

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1、线形代数复习提纲（专升本）第一章行列式1.掌握n阶行列式的定义、行列式一般项的表示方法，特别是掌握一般项行列式符号的求解。2.掌握行列式的重要性质和推论：行列式与其转置行列式的值相等；互换行列式的两行（列），行列式的值变号；如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零；用数K乘以行列式的每一行（列），等于以数乘此行列式；如果行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同；把行列式某一行（列）的所有元素同乘以数K后加到另一行（列）对应

2、位置的元素上去，行列式的值不变。3.掌握代数余子式的概念和性质，并能利用代数余子式将行列式按一行（列）展开。两条重要性质：n阶行列式的D等于它任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和；n阶行列式D的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。4.掌握范德蒙德行列式，能利用行列式的性质和行列式按一行（列）展开的定理简化行列式的运算（化三角形法、降阶法）。第一章矩阵1.掌握矩阵的加减法、数乘、乘法运算的形式、满足的定律，特别注意矩阵的乘法运算（不满足交换律）。2.掌握转置矩阵的概念和性质；掌握对称矩阵和反对称矩阵判定的充要条件。3.掌握

3、单位矩阵、零矩阵、数量矩阵、转置矩阵、上、下三角矩阵、可逆矩阵、正交矩阵、伴随矩阵等特殊方阵的定义。掌握方阵的行列式运算和性质，特别注意│A+B│≠│A│+│B│。4.掌握可逆矩阵的定义、重要性质、矩阵可逆的充分必要条件（│A│≠0），能熟练利用伴随矩阵求解可逆矩阵。5.掌握矩阵的初等变换（对换变换、倍乘变换、倍加变换），能利用矩阵初等变化求行阶梯矩阵和矩阵的秩。掌握初等矩阵、等价矩阵的定义、初等变换的性质（特别是初等变换不改变矩阵的秩这一性质的运用）。懂得利用初等变换求逆矩阵。第二章向量空间1.理解并掌握向量组线性相关和线性无关性概念和性质，能够判定n个n唯向量的

4、的线性相关和线性无关性。2.理解向量组的线性组合、极大无关组的概念和性质；掌握向量组的秩和等价的概念和性质。3.掌握矩阵行秩、列秩、秩的概念和性质，懂得利用初等变化法求解矩阵的秩。掌握矩阵的秩和行列式之间的关系和相关定理。4.掌握向量内积德概念和性质，懂得计算向量的内积，掌握柯西不等式、向量夹角的定义。了解施密特正交化方法，掌握正交矩阵的概念和性质。第一章线性方程组1.掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、解的结构，基础解系的概念和性质、通解的表示，懂得利用初等变换法化简齐次方程组的系数矩阵求解向量。2.掌握非齐次线性方程组解的结构和性质，懂得利用增广矩阵求解非

5、齐次线性方程组的解。第二章矩阵的对角化问题掌握特征值与特征向量的概念和性质；掌握相似矩阵的概念和性质；掌握n阶方阵可对角化的充分必要条件；掌握实对称矩阵对角化的概念和性质。第三章二次型重点掌握二次型的概念，懂得根据二次齐次多项式求二次型的矩阵或根据矩阵求对应的二次型；掌握二次型的标准型，会利用配方法和正交变换法化二次型为标准型；掌握正定矩阵的概念、性质和判定方法。北京交大2011级第1学期线性代数复习题（专升本）一、填空题1、设，，则=。2、四阶方阵A、B，已知=,且，则=。3、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，且,则B的特征值为。4、若n阶方阵A满足关系式，若其中

6、E是单位矩阵，那么。5、设（1，1，1），（1，2，3），（1，3，t）线性相关，则t=。二、单项选择题1、若方程成立，则x是【】(A)-2或3；(B)-3或2；(C)-2或-3；(D)2或3。2、设A、B均是n阶方阵，则下列正确的公式是【】（A）；(B)（A-B）(A+B)=；（C）=（A-E）(A+E)；（D）3、设A为可逆n阶方阵，则=【】(A)；(B)A；(C)；(D)。4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵【】(A)；(B)；(C)；(D)；5、设A为n阶实对称方阵，且为正交矩阵，则有【】(A)A=E；(B)A相似于E；(C)；(D)A合同于E；6、若是线性方程组

7、AX=0的基础解系，则是AX=0的【】(A)解向量；(B)基础解系；(C)通解；(D)A的行向量；一、计算题1、设3阶矩阵，A=，B=，其中均是3维行向量，且已知行列式=18，=2,求。（12分）2、解矩阵方程AX+B=X,其中A=，B=。（12分）3、已知A=B,且A=，B=求a，b。（12分）4、齐次线性方程组中当a为何值时有非零解，并求出通解。（8分）1、求二次型所对应的矩阵。（6分）一、证明题设A为m×n矩阵，B为n阶矩阵，已知R（A）=n证明：若AB=0，则