高中数学中涂色问题的解法

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1、高中数学中涂色问题的解法张将（遂平县第二高级中学，河南驻马店463100）涂色问题是高中数学中的一类比较复杂而且重要的问题，高考中多次涉及。这种题目根据条件可分为颜色必须用完和不必用完两种。根据需要涂色的图形可分为条状结构和环状结构两种。解决问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。下面我们就用历年高考题中的涂色问题作为例子。一、条状结构例将3种作物种植在5块试验出里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，共有多少种种植方

2、法？分析：从数学角度上来看，这是一个条状结构且颜色必须用完的问题。我们先用依次来涂的方法，再用所用颜色种数来讨论的方法。解只管从左到右依次来种。若三种作物可种完可不种完共有3·2·2·2·2二48种方法，其中只种两种作物共有C23·2=6种方法，所以共有48-6=42种方法。解2：三种作物必须种完,那就不必讨论颜色种数。（1）把这五块地分为3,1,1三组。①③⑤必为一组,所以地块分组只有一种方法，再种上三种作物共有A33=6种方法。（2）把这五块地分为

3、2,2,1三组。①③同组时，②④也可和⑤同组，有两种方法，同理①④同组时也有两种方法,①⑤同组时有1种方法，①自己一组时有1种方法，所以地块分组共有6种方法，再种有6A33种方法。由（1）,（2）知共有42种方法。可见：条状结构若不按颜色分类，只管依次去涂即可，非常简单，只要考虑清楚颜色必须用完还是可不用完即可。若按颜色分类，颜色有几种就把图形中的区域分为几组，再往每组涂色即可，结果即是分组的办法数与Amn的积。其中n为全部可用颜色种数，m为实际使用颜色种数。变式：用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色，规定每

4、个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？分析：因为D区域和其他三区域都相邻,A和C又不相邻,所以把D涂完后，就是条状结构的问题。解1：依次去涂。有5·4·3·3=180种方法。解2：按所用颜色种数分类讨论。最少用三种颜色，必定A和C同色，对区域分组只有1种办法。再去涂色共有A35=60种方法。若用四种颜色，有A45=120种方法。共有180种方法。二、环状结构例2：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽

5、种-•种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种。分析：第一块和其余所有块都相邻，所以它必须独立用一种颜色。把第一块涂过后，就是一个环状结构的涂色问题。有两种方法：依次去涂和按颜色种数分类讨论。先看依次去涂要注意什么问题。先给①涂有4种方法，还有三种颜色供接下来使用。再给②涂有3种方法，再给③涂有2种方法，再给④涂有2种方法，再给⑤涂有2种方法，但在给⑥涂的时候出了问题，若②和⑤同，⑥有2种方法，若②和⑤不同，⑥有1种方法。这是条状结构和环状结构不同的地方。怎么办呢？要讨论②和⑤同还是不同。解1：先给①涂有4种

6、方法，若②和⑤同，则②和⑤有3种方法，③有2种方法，④有1种方法，⑥有2种方法，共有4·3·2·l·2二48。若②和⑤不同，考虑到③和⑤同不同对④有影响，所以要就③和⑤继续讨论。若③和⑤同，则有4·3·2·2·l二48种方法。若③和⑤也不同，则有4·3·2·l·l=24种方法，综上所述，共有120种方法。再看按颜色分类要注意什么问题。解2：若只用三种颜色，

7、①用了--种，只余两种，不够用。所以四种要用完。①用了一种，只余三种。需要把余下的分为三组。两组两块，一组一块。②④在一组有2种方法，②⑤在一组有2种方法，②自己一组有1种方法。所以分组共有5种方法。再涂色共有5·A44=120种方法。变式：将一个四棱锥的每个顶点染色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为()。分析：该题相当于如图的环状涂色问题。解1：依次来涂。②④同色有5·4·3·3=180,②④不同色有5·4&mi

8、ddot;3·2·2二240。共有420种方法。解2：按颜色种类来讨论。最少要用3种颜色，有C35×A33=60种方法。用4种颜色，有C54×2A44=240种方法,用5种颜色有A55=120种方法。共有420种方法。可见：环状结构由于首尾相接，涂色问题确实麻烦，但