数列求和的若干方法及应用

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1、数列求和的若干方法及应用河南省上蔡一高王安寓463800与数列相关的问题高考中年年涉及，其数列和是热点之一。应用数列和可以解决一些数学问题。“当解决问题时，我们总要利用以前解决过的问题，用其结果或用其方法，或利用解决它们时所得到的经验。”（波利亚语）本文试谈数列求和的若干方法（来源于教材）和数列和的一点应用，供同学们参考。一、数列求和的若干方法1．倒序相加法求和在等差数列求和中，用到了倒序相加法，设{an}为等差数列，其前n项和为sn，则sn=a1+a2+a3+……+an①sn=an+an－1+……+a2+a1②①+②有2sn=（a1+an）+（a2+an－1）+……+（an+a1）=n（a1

2、+an）∴sn=。这种方法可解决下列问题。例1．已知{an=}，sn是其前n项和，求满足sn=5120的n的值。解：∵sn=，∴sn=，上二式相加，并运用有2sn=，∴。令=5120=10·29，∴n=10.2．错位相减法求和在等比数列求和中，用到了错位相减法，该解法参见课本《数学》第一册（上）P126。这种求和的方法常用在等差与等比数列的混合积的和上。例2．已知{an}是公差为2首项是1的等差数列，{bn}是公比为q首项为1的等比数列，求{cn=anbn}的前n项和sn.解：易知an=2n－1，，所以。sn=1+3q+5q2+……+(2n－1)qn－1①①×q有qsn=q+3q2+5q3+…

3、…+(2n－3)qn－1+(2n－1)qn②①－②有（1－q）sn=1+2q+2q2+……+2qn－1－(2n－1)qn，当q≠1时，(1－q)sn=∴sn=;当q=1时，sn=1+3+5+……+（2n－1）=n2。∴3．拆项求和法拆项求和是较常见到的一种求和方法，其又分为自然拆项（按其形式自然拆开，然后运用已知的公式），分式拆项，根式拆项，三角拆项，反三角拆项，阶乘拆项，组合数拆项等。要根据题目的特征灵活选择相应的拆项方法。例3．求证：。证明：∵当k>1时，，∴。注意：分式拆顶有其规律性，分母是等差数列相邻若干项的积。设{an}是公差d不是0的等差数列，则；，……，等。二、数列和的应用“远巍

4、巍塔七层，红光占点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”中国古代就已研究数列问题，这恰好是数列和的应用。在历年的高考和竞赛中考查数列和的题也很多，摘录几题以飨读者。例4．设{an}是由正数组成的等比数列，其前n项和为sn,求证：。略证：设{an}的公比是q.∵{an}是等比数列，∴sn+1=a1+qsn,sn+2=a1+a1q+q2sn,∴sn+2sn－sn+12=a1(sn－qsn－a1)=a1(sn－sn+1)=－a1an+1<0.∴sn+2sn

5、果存在，求出来；如果不存在，请说明理由。分析：待判断的等式的左边是一个数列的前n项和，因此只须把这个和求出，然后比较即可知是否存在a,b满足题设。解：假设存在满足题设的实数a,b,则把等式左边的看作是数列{an=n·(n+1)}的前n项和。∵n·(n+1)=∴1·2+2·3+3·4+……+n·(n+1)==与比较易知存在实数a=3，b=2满足题设。例5．当

6、x

7、<1,

8、y

9、<1时，求证：证明：∵

10、x

11、<1,

12、y

13、<1，∴x2<1,y2<1,xy<1,于是∴左边=（）+（）=2+（x2+y2）+(x4+y4)+……≥2+2xy+2x2y2+……==右边，∴原式成立。以上是茫茫题海中的几朵浪花，供

14、同学们玩味鉴赏。以下是几个巩固题目，供同学们练习之用，希望能对同学们的学习有所补益。练习：1.数列{an}的通项公式是，那么{bn}的前n项和sn=。（提示：）2．数列{an}是公比为首项是2的等比数列，sn是其前n项和，是否存在自然数c,k，使得成立？若存在，则求出；若不存在，则说明理由。电话：13839674784（提示：先按关于c的不等式解得，再由sk<4求出1