二维信号与系统的傅立叶分析

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1、第二章二维信号与系统的傅立叶分析本章讨论二维光场的傅里叶分析方法。§2-1光波的数学描述一、平面波的复振幅因为光是电磁波，一般说光场分布和光效应应该用电矢量场来描述。但是在有些情况下，把光场作为标量场来讨论是方便的。在各向同性的均匀介质中，沿r方向传播的理想单色平面谐波是位置和时间的函数，如图所示。用表达式可以表示为式中u0是振幅，t是时间，是沿传播方向的位置坐标，T是时间周期，时间频率，λ是波长（波长的倒数称为空间频率或波数，用表示），称为空间角频率，称为位相。为计算简单，常用复数表示光波场，即在实

2、际应用中，为简单起见可以省去Re[]，直接将单色平面波写成而式中称为复振幅，复振幅是位置坐标的函数。复振幅是以振幅为模，以初位相kr为幅角的复数。因为光的时间频率很高（对可见光来说在1014Hz左右），人眼和其它光接受器达不到如此高的频率响应，所以眼和光接受器接收的都是光的平均强度。而光的平均强度与振幅的平方成正比，在很多情况下可以只用复振幅表示光波，以使计算简化。例如计算光的平均强度，就可以写为若平面波传播方向的单位矢量的方向余弦为，定义平面波传播方向的波矢量，那么平面波在空间某点的复振幅还可以表示

3、为一、球面波的复振幅点光源发出的光波是球面波。由于任何光源总可以看成点光源的集合，所以球面波是经常遇到的光波形式。球面波的等相面是球面，各点的振幅与该点到球心的距离成反比。所以当以球面波的球心为坐标原点时，球面波可以写成仍然是波矢量，r是(x,y,z)点的矢径，a0是r=1处的振幅。对于发散球面波，波矢量k与矢径r方向相同；而对于会聚球面波，波矢量k与矢径r方向相反，于是球面波的复振幅可以写作当球面波的球心不在坐标原点而在（x0,y0,z0）时，要注意。§2-2光场中任一平面上的复振幅一、平面波光场中

4、任一平面上的复振幅我们已经知道平面波光场的复振幅可以写为式中表示空间位相，这样在x，y，z方向的空间频率分别为所以平面波光场的复振幅又可以写为空间频率的单位是周/毫米（cy/mm）。空间频率分量可以为正或负，传播方向与坐标轴的正向夹角小于90°时是正值，大于90°是负值。如果我们把光轴选为z轴（如图），那么所研究的物平面就平行于xy平面。如果物平面与xy面的距离为z1，则在物平面处平面波的复振幅为而，即所以对于位于z1处确定的物平面，复数与x，y无关，它并不反映物平面上各点的复振幅差异，我们令于是物平

5、面上的复振幅可以表示为上式就是平面波光场中与z轴垂直平面上的复振幅。对于波矢量在xz平面内（或者说平行于xz）的情况，这时，所以复振幅可以看出，在垂直于z轴的物平面上，复振幅只随x变化，而与y无关。下图清楚地表明了这一情况。等相线是与x轴垂直的直线，位相间隔是2π的一组等距平行线，这些等相线上各点光震动的情况是相同的（振幅相同，位相相差2π的整数倍），因此复振幅在与z轴垂直的平面上的变化是周期性的，其空间周期在x方向是1/fx，记为Tx=1/fx=λ/cosα，在z方向是1/fz，记为Tz=1/fz=

6、λ/cosγ。对于波矢量k不在xz平面的一般情况，我们已经导出在垂直于z轴的平面内的复振幅是显然等相线应该是即画出此方程表示的直线族如下由图示的几何关系，得等相线的空间周期为一、球面波光场中任一平面上的复振幅若坐标系的原点与球面波中心重合，所研究的平面仍与Z轴垂直，该平面与xy平面的距离为z1，则所考察的平面上的复振幅为在近轴近似条件下，即，根据泰勒级数展开（忽略高阶小量），有所以由上式可以看出，在近轴近似条件下，球面波在与z轴垂直的平面上的复振幅的分布特点是：振幅是与z1成反比的常量，位相与z1，x

7、，y都有关，其等相线是一组同心圆。当球面波的中心坐标是，则观察面上的复振幅为其中U0是由点光源和z0决定的复常数。§2-3二维傅立叶变换在相干光照明的情况下（即存在干涉效应），描述物光波场的函数是复函数，实际上也就是xy面上的复振幅。其模代表的是振幅，其辐角代表空间初位相。在非在相干光照明的情况下（即不存在干涉效应），是实函数，也就是xy面上的光波场的振幅分布。下面分别分析这两种情况。一、相干照明的情况在相干光照明的情况下，复振幅的空间频谱为反之，已知空间频谱，求光波场的复函数，则上式与垂直于z轴的平

8、面上的平面波的复振幅相比较，可以看成是无限多个振幅U0=1，方向为，权重为的平面波叠加的结果。一、非相干照明的情况在非相干照明的情况下，振幅函数是一个非负实函数。对于实函数的频谱有以下性质：1、，（我们称具有这样性质的函数为厄米函数）2、，即的模为偶函数3、，即的辐角为奇函数所以振幅函数的空间频谱——即傅立叶变换为所以振幅函数所以在非相干光照明时，物光波可以看成是由幅值为的无限多个空间频率为fx,fy的不同取向的]平面波叠加而成。实际上这样物光波又可以看