高二理科数学《2.4.2抛物线的简单几何性质(二)》

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1、2.4.2抛物线的几何性质（二）教学目标：利用抛物线的标准方程和定义来解决问题；利用抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.重点难点分析教学重点：抛物线定义的应用；抛物线的焦点弦长求法；抛物线综合知识的应用.教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用.教学设计：【复习引入】1．抛物线的定义及几何性质．说明：抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线.2．练习：①抛物线的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是1．②抛物线上的两点、到焦点的距离之和为5，则线段的中点的横坐标是2．【讲授新课】例1．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4

2、x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1,0)，则直线AB的方程为y＝x－1①将①代入抛物线方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x．化简得x2－6x＋1＝0．解得可得即A、B的坐标分别为解法二：由第一种解法，x2－6x＋1＝0．利用弦长公式解法三：由抛物线的定义知，于是得

3、AB

4、＝

5、AF

6、＋

7、BF

8、＝x1＋x2＋2.根据根与系数的关系可以直接得到x1＋x2＝6．

9、AB

10、＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8．抛物线焦半径公式抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离

11、MF

12、＝.抛物线y

13、2＝－2px(p＞0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离

14、MF

15、＝.抛物线x2＝2py(p＞0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离

16、MF

17、＝.抛物线x2＝－2py(p＞0)上的点M(x0,y0))与焦点F的距离

18、MF

19、＝.思考：抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点的弦与抛物线交于点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则焦点弦

20、AB

21、的长为多少？焦点弦长公式抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点的弦与抛物线交于点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则焦点弦

22、AB

23、的长为

24、AB

25、＝x1＋x2＋p．抛物线的通径抛物线y2＝2px(p＞0)，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两

26、交点的坐标分别为连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.例2.过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2＝－p2．过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的横坐标为x1、x2，那么：x1x2=．焦点弦的几条性质设直线过焦点F与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则：①x1x2＝；②y1y2＝－p2；③通径长为2p；④焦点弦长

27、AB

28、＝x1＋x2＋p．例2．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．证明:(法一)设抛物线方程为,则焦点,

29、准线．设以过焦点的弦为直径的圆的圆心，、、在准线上的射影分别是、、，则，又，∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，∴命题成立．（法二）设抛物线方程为，则焦点，准线．过点的抛物线的弦的两个端点，，线段的中点则，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径．点到准线的距离，∴圆与准线相切．【课堂小结】1．焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离

30、MF

31、＝．2．焦点弦的性质①x1x2＝；②y1y2＝－p2；③通径长为2p；④焦点弦长

32、AB

33、＝x1＋x2＋p．【课后作业】《习案》