中考查漏补缺(短路线问题)

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1、中考查漏补缺----最短路线问题【例题解析】例1.如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？思路分析：解这类题的思路是“空间图形平面化”，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“两点之间线段最短”进行计算。解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）。将四棱柱剪开铺平，使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上。（如图2）。所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为。例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的

2、坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)，C(0，)，延长AC到点D，使CD＝AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；11ABOCED（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与轴的交点出发，先沿轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）思路分析：第(1)问，利用相似三角

3、形的知识即可解决；第(2)问8/8是平行四边形对角线交点的任意一条直线都可将它的周长和面积平分的问题，所以连结点B、M即可；第(3)问，首先是利用路程、时间与速度的关系将P点转化为相同的速度，然后根据“化折为直：的思路，利用“点到直线的距离，垂线段最短”转化为求线段和最短问题。解：(1)∵A(－6，0)，C(0，4)，∴OA＝6，OC＝4．设DE与y轴交于点M．由DE∥AB可得△DMC∽△AOC．又，．∴CM＝2，MD＝3．同理可得EM＝3．∴OM＝6．∴D点的坐标为(3，6)．(2)由(1)可得点M的坐标为(0，6)．由DE∥AB，EM＝MD，可得y轴所在直线是线段ED的

4、垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD，∴TE＝SD．∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B(6，0)，点M(0，6)在直线y＝kx＋b上，可得直线BM的解析式为y＝－x＋6．(3)确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6，OM＝6，可得∠

5、OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝2．∴G点的坐标为(0，2)．(或G点的位置为线段OC的中点)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44例3.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；8/8(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②　当抛物线向左或向右平

6、移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．思路分析：本题的思路是“化折为直”，(1)是直接利用“两点之间线段最短”，而(2)则是先平移后再利用“两点之间线段最短”解决问题。解：(1)将点A(-4，8)的坐标代入，解得．将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)．　(1)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP直线AP的解析式是．　令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)．　(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=，　故将抛物线向左平移个单位时，A

7、′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．(2)①4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．直线A′′B′的解析式为．要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．(第24题(2)②)4x22A′8-2O-2-4y6B