量子力学导论答案下(7-12)

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1、第七章粒子在电磁场中的运动7.1)设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动,求能级本征值和本征。(参《导论》)解:以电场方向为轴,磁场方向为轴,则,(1)去电磁场的标势和矢势为,(2)满足关系,粒子的Hamiton量为(3)取守恒量完全集为,它们的共同本征函数可写成(4)其中和为本征值,可取任意函数。满足能量本证方程:因此满足方程(5)亦即,对于来说,和式等价:(6)其中(7)式(6)相当于一维谐振子能量算符再加上两项函数,因此本题能级为30(8)其中和为任意实数,式(4)中为以为变量的一维谐振子能量本征函数,即(9)为厄密多项式,。7.2)设带电粒子在均匀磁场和各向同性谐振子势中运动,

2、求能量本征值。第八章自旋8.1)在表象中,求的本征态。解:在表象中,的矩阵表示为:设的本征矢(在表象中)为,则有可得及。则则利用归一化条件,可求出的两个本征态为。8.2)在表象中,求的本征态,是方向的单位矢.解:在表象中,的矩阵表示为,,(1)因此,(2)30设的本征函数表示为,本征值为,则本征方程为,即(3)由(3)式的系数行列式,可解得。对于,代回(3)式,可得归一化本征函数用表示,通常取为或(4)后者形式上更加对称,它和前者相差因子,并无实质差别。若用的直角坐标分量来表示,可以取为或(4’)如,二者等价(仅有相因子的差别)。若,应取前者;若,应取后者。对于类似地可以求得或(5)或或(5’

3、)若,取;若,取。8.1)在本征态下,求和。解:但(常数矩阵),30,,类似有。8.1)(a)在本征态下,求的可能测值及相应的几率。(b)同第2题,若电子处于的自旋态下,求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。解:(a)利用8.2)题求得的本征函数,容易求出:在自旋态中,的几率为(1)的几率为(2)(b)在自旋态态,的几率为(3)的几率为:(4)[或(5’)]考虑到,各分量以及各分量在的构造中地位对称,所以利用式(3)、(4)、(5),作轮换,就可推论出以下各点:的几率为,(6)(7)的几率为(8)(9)将式(5)、(7)、(9)合并写成矢量形式如下:30自旋态中,(10)类似地,容易算

4、出:自旋态中,(11)解二:(a)在自旋态中,的可能测值为本征值设相应的几率为及,则(12)由于(13)考虑到在的本征态中和的平均值为,的平均值即为其本征值,因此在态下,(14)由式(12)、(14),并利用,就可求出,(15)此即解一中的式(1)、(2)。(b)在式(14)中,是轴和的夹角。轴和的选取是任意的。完全可以将原来的轴作为新的轴,而原来的取作新的轴。由此可知:在的自旋态中,的平均值仍为,即。再令轮换,即得自旋态中,(10)在态下各分量的取值大部分当然均为,其几率也可估照(a)中计算而写出,即的几率为(6)的几率为(8)的几率为(3,4)8.1)证明(为常数)[量Ⅱ]8.7)由两个非

5、全同粒子(自旋均为)组成的体系,设粒子间相互作用表为(不考虑轨迹运动)。设初始时刻()粒子1自旋“向上”,粒子2自旋“向下”。求时刻时,(a)粒子1自旋向上的几率(答:,取)(b)粒子1和2的自旋向上的几率(答:)(c)总自旋s=0和1的几率(答:都是)(d)求和的平均值(答:,,)。解:从求体系的自旋波函数入手,由于30(1)易见总自旋是守恒量,所以定态波函数可以选为、的共同本征函数,按照总自旋量子数的不同取值,本征函数和能级为(2)时,体系的自旋态为(3)因此,时波函数为(4)即(4’)(a)由式(4’)可知,在时刻,粒子1自旋“向上”[同时粒子2自旋“向下”,相当于项]的几率为。(b)粒

6、子1和2自旋均“向上”[相应于,式(4’)中没有这种项]的几率为。这是容易理解的。因为总自旋为守恒量,而体系初态,所以任何时刻必为0,不可能出现两个粒子均“向上”的情形。(c)由式(4)可知,总自旋量子数取和的几率相等,各为。由于守恒,这个几率不随时间改变(d)利用式(4’)容易算出和的平均值为(5)第九章力学量本征值问题的代数解法9—1)在8.2节式(21)中给出了自旋()与轨迹角动量()耦合成总角动量的波函数,这相当于的耦合。试由8.2节中式(21)写出表9.1(a)中的CG系数解:8.2节式(21a)(21b):30(21a)(21b)此二式中的相当于CG系数中的,而,。因此,(21a)

7、式可重写为(21a’)对照CG系数表,可知:当,时,而时,对于的(21b)式,有309-2)设两个全同粒子角动量,耦合成总角动量,(1)利用系数的对称性,证明由此证明,无论是Bose子或Fermi子,都必须取偶数证:由式(1),把,利用系数的对称性(2)对于Fermi子,半奇数,奇数,但要求,即要求,所以必须为偶数。,(情况,只能构成交换对称态,为什么?)因此可验证:态的总数为。[]。对于Bose

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