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1、第六章中心力场6.1)利用6」.3节中式(17)、(18),证明下列关系式尸二〃戸=丄(加2厉—加小2)M相对动量总动量总轨迹角动量£=Z)+Z2=斤x为+乙x戸2=RxP+Fxp(3)P2(4)反Z,有A=A+“7：尸2=R"戸(5)m2Px二-“p+~[j,P1=—p~p(6)m2以上各式中,M=7?7,1+叫二+m2)总动能"盘+為=金+纭证：甘"+◎m{+m2(17)r=r~r29(18)相对动量m2p=jLir=mx+m2(••、—>I»r~r2丿(D总动量Am社仙+弘)"斤+®二莎+爲+m2(20总轨迹角动量L=L^L2=rxxp^r
2、1xp2ufXP2R+——rx#]+R-l"丿=^x(p,+p2)+rx—p2(1)(2)一一-=RxP+rxp由(17)、(18)可解出亓忑,即(5)式;由(1，)(2T可解出(6)o、2总动能厂二卫」2m,2m2p玄一厂P+p72m{m2、2^-p-p"丿2m=2m}m2puP•pu2+—++——-—2“m}m22m^m2—2P—2一一IpUP・p2m2m}m2二2二21—2/p—:P+—P2(“+m2)2(“+m2)2m2LU上+丄2M2“［从(17),(18)式可解出(5)式；从(1),(2)式可解出(6)式］•6.2)同上题，求坐标表象屮
3、/?、P和厶的算术表示式p=-itNrP--iHPr,L=AxP+rxpP=*(加2P_加]#2)=晋(加2V斤一加
4、V『2)V7:dzd7dVr=i^—+1dx}d)dZ[d_OXddxd_3d+~H9dxi3X]dXdx,dxMdXdxdm}93dm}dd同理，一=———+=——+—；dytMdYdy九MdZdz(利用上题(17)(18)式。)・•・V广筈仿此可设V二筈Vr—乞1MM代入(1)中，得K罟[讐*+耳乞一讐MMM=-itNrP=Pl+P2=-诜(*+VJ=-^VRL=RxP+rxp解：其中而(1)(2)(3)(4)只要将(3)、(
5、4)式中的〃、P以相应的算符代入即可。6.3)利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：(a)电子偶素(positronium,指e+—e~束缚体系)(b)u原子(muonicatom)(c)u子偶素(muonium,指u+—u~束缚体系)解：由氢原子光谱理论，能级表达式为:(a)(b)E”2/22H,W=m卜meueA1一4力$n2ite41U2/?2n2'4叫€14沪9/I/"电子偶素能级Enu原子能级En=u子偶素能级E”ue412,（%=叫叽=如）叫+叫2emP+叫（“牛）叫+叫,(%二叫叫=些)me+me26・4）对于氢原子基态，计算心•△p
6、。解:*在求坐标系中，空间反演:(V——>71—0^(p—>7T十0)。氢原子基态波函数为$00宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以兀=0,px=Q由于Pion各向同性，呈球对称分布，显然有~2~~]—X=V=Z--Y32221_2Px=PV=Pz=~P3容易算出r2.9sinOdrdOd(p=3吋=J^2(^ioo)2^=J因此一力汀妙,切（X）必=—沪J[V•（%V%）-V%•V%]必心WoolPx2X2=CIq,3q°(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)测不准关系的普遍结论是△x・△/人>显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式
7、（9）规定的下限%6.5）对于蛍原子基态，求电子处于经典禁区（r>2a）（即E-V<0）的几率。口ue2乔相应的能暈动能T(r)=£,-Ve2e~T=E-V<0是经典不允许区。由上式解出为r>2ao因此，电子处于经典不允许区的儿率为[8穴2龙p=——rI*[fe~2rar2drsinOclOdcp(令§=Ir/a)mJJJ2aO0a30.23816.6）对于类孩原子（核电荷Ze）的“圆轨迹”（指nt.=QJ=n-1的轨迹），计算（a）最可几半径；（b）平均半径；（c）涨落△厂二〈厂〉解：类氢原子中电子波函数？伽可以表示为%=R叩（厂）匕”（&，0）=
8、*%（厂）/（&0）（1）（a）最可几半径由径向几率分布的极值条件知少）=0（2）决定。I=n—1时，nr=0o如心（山3严伽代入（2）式，容易求得=r^a^jZ（4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（b）在？伽态下，各〈厂之间有递推关系（Kramers公式）学『）_（2卄1号严〉+£［⑵+1）2胡头广*0（5）（参钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）在（5）式屮令2=0,注意到〈*）二1。可设依次再取A=1,2,得到=1)/=n2Z+(7)[l+57t2-3/(/+l)f-丿2Ja(8)因此,可见,(9)(10)6.7
9、）设电荷为乙的原子核突然发生0-衰变，核电荷变成（Z+1>,求衰变前原子Z屮一个K电子（Is轨迹上的电子）在
