量子力学导论答案下(7-12)

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1、第七章粒子在电磁场中的运动7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，求能级本征值和本征。（参《导论》）解：以电场方向为轴，磁场方向为轴，则，（1）去电磁场的标势和矢势为，（2）满足关系，粒子的Hamiton量为（3）取守恒量完全集为，它们的共同本征函数可写成（4）其中和为本征值，可取任意函数。满足能量本证方程：因此满足方程（5）亦即，对于来说，和式等价：（6）其中（7）式（6）相当于一维谐振子能量算符再加上两项函数，因此本题能级为30（8）其中和为任意实数，式（4）中为以为变量的一维谐振子能量本征函数，即（9）为厄密多项式，。7.2）设带电粒子在均匀磁场和各向同性谐振子势中运动

2、，求能量本征值。第八章自旋8.1)在表象中，求的本征态。解：在表象中，的矩阵表示为：设的本征矢（在表象中）为，则有可得及。则则利用归一化条件，可求出的两个本征态为。8.2)在表象中，求的本征态，是方向的单位矢.解：在表象中，的矩阵表示为，，（1）因此，（2）30设的本征函数表示为，本征值为，则本征方程为，即（3）由（3）式的系数行列式，可解得。对于，代回（3）式，可得归一化本征函数用表示，通常取为或（4）后者形式上更加对称，它和前者相差因子，并无实质差别。若用的直角坐标分量来表示，可以取为或（4’）如，二者等价（仅有相因子的差别）。若，应取前者；若，应取后者。对于类似地可以求得或（5）或或（

3、5’）若，取;若，取。8.1)在本征态下，求和。解：但（常数矩阵），30，，类似有。8.1)（a）在本征态下，求的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处于的自旋态下，求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。解：（a）利用8.2）题求得的本征函数，容易求出：在自旋态中，的几率为（1）的几率为（2）（b）在自旋态态，的几率为（3）的几率为：（4）[或（5’）]考虑到，各分量以及各分量在的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作轮换，就可推论出以下各点：的几率为，（6）（7）的几率为（8）（9）将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：30自旋态中，（10）类似地，

4、容易算出：自旋态中，（11）解二：（a）在自旋态中，的可能测值为本征值设相应的几率为及，则（12）由于（13）考虑到在的本征态中和的平均值为，的平均值即为其本征值，因此在态下，（14）由式（12）、（14），并利用，就可求出，（15）此即解一中的式（1）、（2）。（b）在式（14）中，是轴和的夹角。轴和的选取是任意的。完全可以将原来的轴作为新的轴，而原来的取作新的轴。由此可知：在的自旋态中，的平均值仍为，即。再令轮换，即得自旋态中，（10）在态下各分量的取值大部分当然均为，其几率也可估照（a）中计算而写出，即的几率为（6）的几率为（8）的几率为（3，4）8.1)证明（为常数）[量Ⅱ]8.7）

5、由两个非全同粒子（自旋均为）组成的体系，设粒子间相互作用表为（不考虑轨迹运动）。设初始时刻（）粒子1自旋“向上”，粒子2自旋“向下”。求时刻时，(a)粒子1自旋向上的几率（答：，取）(b)粒子1和2的自旋向上的几率（答：）(c)总自旋s=0和1的几率（答：都是）(d)求和的平均值（答：，，）。解：从求体系的自旋波函数入手，由于30（1）易见总自旋是守恒量，所以定态波函数可以选为、的共同本征函数，按照总自旋量子数的不同取值，本征函数和能级为（2）时，体系的自旋态为（3）因此，时波函数为（4）即（4’）(a）由式（4’）可知，在时刻，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于项］的几率为

6、。(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于，式（4’）中没有这种项］的几率为。这是容易理解的。因为总自旋为守恒量，而体系初态，所以任何时刻必为0，不可能出现两个粒子均“向上”的情形。(c)由式（4）可知，总自旋量子数取和的几率相等，各为。由于守恒，这个几率不随时间改变(d)利用式（4’）容易算出和的平均值为（5）第九章力学量本征值问题的代数解法9—1）在8.2节式（21）中给出了自旋（）与轨迹角动量（）耦合成总角动量的波函数，这相当于的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数解：8.2节式（21a）（21b）:30（21a）（21b）此二式中的相当于CG系数中的，而,。因此

7、，（21a）式可重写为（21a’）对照CG系数表，可知：当,时，而时，对于的（21b）式，有309－2）设两个全同粒子角动量，耦合成总角动量，（1）利用系数的对称性，证明由此证明，无论是Bose子或Fermi子，都必须取偶数证：由式（1），把,利用系数的对称性(2)对于Fermi子，半奇数，奇数，但要求，即要求，所以必须为偶数。，（情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此可验证：态的总数为。[]。对于Bose