对一道数学试题的分析与反思

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1、图1对一道数学试题的分析与反思一、问题提出问题1为了美化校园，学校准备在三边长分别是13m.14m>15m的三角形空地上种植花草，你能计算出这块空地的面积吗？如果能请写出你的计算过程。二、解法缺陷这道题是本校的一道期末考试题，笔者在监考过程中，仔细观察了一位学生的解题过程，如下：图2解法1：如图2,过点A作BC的垂线，垂足为点D。设BD=x,AD=y。由面积法'得SaABD+S△ACD=S△ABC。丄Ay+—(14—x)y=l4yx—,但是此方程化简以后是恒等式,22*2则此路不通。解法2：在RtAABC屮，AD2+

2、BD2=AB2,即/+^=1520在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,即/+(14-x)2=132oo22解方程组肾(霍)2十'得円2。从而面积为14X12X1=84(^).笔者认为这位学牛能首先从面积法的角度思考问题，非常合理，并H能迅速地从面积法转到考虑勾股定理，展现了其良好的数学基本功。解法2所得结果是正确的，但解题思路存在缺陷，笔者发现许多学生的解法与解法2类似，原因是原图中线段BC恰好是水平的，所以学生更习惯作BC的垂线，而不习惯作AB或AC±的高。学生们潜意识认为所作的高应当在三角形内，这是错误的。

3、我们讨论过锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各自三条高的情况，发现高可能在三角形内部或三角形上，也可在三角形外。三、类似题联想问题2已知等腰AABC屮，AB=AC=2,AC边上的高BD=VL求底边BC的长。就这个问题笔者检查了八位学生的解法，发现都只得到了一种答案。因为他们都认为腰上的高应该在三角形内，而没有考虑高在三角形外的情形，从而导致得到了片面的结果。正确解法如下：依题意可有图3（高BD在三角形内）、图4（高BD在三角形外）。图3图4不难计算出两种情况下底边BC的长分别为2,2翻。针对问题1的解法缺陷，我们是否

4、应该讨论以13,14,15为边的三角形是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形呢？这个问题我们留在第六部分讨论。通过认真观察不难发现，无论锐、直、钝角三角形，都至少有一条边上的高在三角形的内部，这条边一定是最长的边，所以应该在最长的一条边上作高就可以保证图形的唯一性，即最长边上的高一定在三角形的内部。问题1的正确解法应当说明，选择在最长的边上作高，即在边AB±作高，即可避免出现高在三角形外的情况。四、基于猜想的解法笔者还观察了一些类似解法2的解法，不同Z处在于方程（组）。/29_[-2情况1:方程组[7;y2+（14-x

5、）2=132情况2：方稈组”F+y2=i5；7（14—x）2+），=13情况3：以RtAABD和RtAADC的公共边AD为“过渡量”建立方程152一兀2=13?—（14一兀）2。这三种方程（组）中最好的当然是情况3中的方程，也是思维最简捷的。情况1的方程组需要消元，即消去未知数y；情况2中的方程需等式两边平方去根号，然后转化为情况k笔者也发现一些学生虽然列出了方程（组），但是并没有去求解，而直接猜出了答案，根据勾股数来猜，笔者认为这样的学生思路菲常灵活，能善于猜想，也能精于推理。另一位学生从猜想出发，解法如下：过点A

6、作AD丄BC交BC于点D,AZADC=90°,V132=52+122,AAD这样的解法是不符合逻辑的，但是这种基于猜想的方法能行得通吗？答案是可以的。A1213D5°如图5,我们可以先构造两个直角三角形(5,12,13)和(9,12,15),再拼在一起，易证点B、D、C三点共线，所以可以拼成一个边长为13,14,15的三角形，与原三角形全等，则原三角形边14上的高为12mo至此，这种方法被“救活”了，这种基于猜想的方法有很大的局限性，若所求线段长度与勾股数无关，就很难猜得结论了。五、基于分类的解法问题1的正确解法应

7、当说明，选择在最长的边上作高，目的是确保高在三角形内部，保证图形的唯一性。但如果不这样考虑，那么解法应当依据不同的图形分情况讨论。我们选择在边BC±作高，首先应画出示意图，边BC±的高可能在三角形的内部(图6),也可能在三角形外部，垂足在边BC的延长线上(图7),由于15＞13,所以垂足不可能在边BC的反向延长线上。设BD=x,由图6可得方程152—132—(14—%)2,解得兀=9,此时兀＜14,所以x=9成立；由图7可得方程152-x2=132-(x-14)2,解得x=9,由图形可知兀＞14,所以x=9不成立。这

8、两个方程实质上是一样的，所以解相同，但是不同的图形中兀的取值范围不同，由此排除了其中一种情况。六、探究新问题我们在思考以上问题的过程屮产生了一个新的问题，己知一个三角形的三条边，如何能判定它是锐角、钝角、还是直角三角形。笔者设计了如下问题：问题3已知一个三角形的两条边分别为5,6,第三条边长为整数，请问符合条件的三角形有多少种情况？哪些是锐角三