2005年春天山中学初三数学竞赛试题及答案

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1、2005年春天山中学初三数学竞赛试题一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分)　　1.下列各式中，最简二次根式为(　)　　A.　　　　B.　　　　C.　　　　　D.　　2.方程(x+1)x=0的根是(　)　　A.x1=1，x2=0　　B.x1=-1，x2=1　　C.x1=-1，x2=0　　D.x1=x2=0　　3.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C为优弧上一点，∠ACB=60°，则∠APB的度数是(　)　　A.60°　　B.120°　　C.30°或120°　D.30°　　4.

2、二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是(　)　　A.(-2,6)，x=-2　B.(2,6)，x=2　　C.(2,6)，x=-2　　D.(-2,6)，x=2　　5.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA与sinA′的关系为(　)　　A.sinA=2sinA′B.2sinA=sinA′　　C.sinA=sinA′　　D.不确定　　6.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是(　)　　　　7.如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P做x轴的垂线PQ交双曲线y=于点Q，连结

3、OQ，当点P向右运动时，Rt△QOP的面积(　)　　A.逐渐增大　　B.逐渐减小　　　C.保持不变　　　D.无法确定　　8.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和m，圆心距为n，且2和m都是方程x2-10x+n=0的两根，则两圆的位置关系是(　)　　A.相交　　　　B.外离　　　　　　C.内切　　　　D.外切　　9.将某氢氧化钠溶液加水，则描述溶液pH值与加水量(m)间变化规律的图象大致是(　)　　　　10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连结OC并延长交⊙O于点D。若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是(　)　　A.6　　　B.9-　

4、　　C.　　D.25-3　　二、填空题(每小题2分，共20分)　　11.已知点P(-3,2)，点P′是点P关于原点的对称点，则点P′的坐标是____。　　12.如果把一个圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个____形。　　13.函数的自变量x的取值范围是_____。　　14.方程组的解是_____。　　15.正六边形的半径为1cm，它的边心距等于_____cm。　　16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么直线y=bx+c不经过第____象限。　　17.已知圆的直径为13cm，圆心到直线l的距离为6cm，

5、那么直线l和这个圆的公共点的个数有_____个。　　18.已知5x2-xy-6y2=0，则的值为_____。　　19.△ABC内接于⊙O，D是BC边上的中点，若∠ABC+∠DAC=90°，则△ABC是____三角形。　　20.如图，等边△ABC边长为10cm，以AB为直径的⊙O分别交CA、CB于D、E两点，则图中阴影部分的面积(结果保留π)是_____cm2。　　三、(第21小题8分，第22小题10分，共18分)　　21.当x=2时，求的值。　　22.已知线段AB是⊙O的弦，点P是优弧上一个动点(P不与A、B重合)，直线l是∠APB的平分线。　　(1

6、)画图并证明：当点P在优弧上运动时，∠APB的平分线l过定点Q；　　(2)当点P在优弧上运动时，△APQ的面积能否取得最大值，如果能，请用尺规作图确定点P在⊙O上的位置；如果不能，请说明理由。　　四、(10分)　　23.在某文具商场中，每个画夹定价为20元，每盒水彩定价为5元。为促进销售，商场制定两种优惠方案：一种是买一个画夹赠送一盒水彩；另一种是按总价92％付款。一个美术教师欲购买画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒)。　　(1)设购买水彩数量为x(盒)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中的y与x的函数关系式；　　(2)如果购买同样多的水彩，

7、哪种方案更省钱？　　五、(10分)　　24.如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB(见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺。　　(1)请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m,n,…表示，角用α,β,…表示，测倾器高度忽略不计)；　　(2)根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB(用字母表示)。　　　　六、(11分)　　25.如图，已知A为优弧中点，且AB=BC，E为劣弧上一点。　　(1)求证：A

8、E=BE+CE　　(2)试猜想，当点E在优弧上运动时，线段AE、BE、CE之间具有怎样的关系，画图并证明你的