单自由度系统有阻尼的强迫振动课件

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1、1、激振力第三章单自由度系统有阻尼的强迫振动前几节讨论了在外界初始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振动。本节讨论系统由外界激振所引起的振动，称为强迫振动。外界激振所引起的系统的振动状态称为响应。对于不同的外界激振，系统将具有不同的响应。一个自由度系统的振动激振力激振力包括：简谐激振力非简谐的周期激振力冲击激振力随机激振力，等等我们将重点讨论系统对简谐激振力的响应，因为这是最基本的，是研究其他响应的基础。最后要讨论系统对任意激振力的响应。一个自由度系统的振动激励激励包括：力激励运动激励激振力引起的振动包括：瞬态响应稳态响应一个自由度系统的振动响应简谐振动下系统的响应由初始

2、条件引起的自由振动、伴随强迫振动发生的自由振动以及等幅的稳态强迫振动瞬态响应只存在于振动的初始阶段，称为过渡阶段，当激励频率与系统固有频率很接近时，将发生共振现象，系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助谐波分析来研究。如图所示的弹簧质量系统中，质量块上作用有简谐激振力一个自由度系统的振动简谐激励下的的强迫振动（稳态阶段）P=P0sinωtxrkmPkxP=P0sinωt简谐激励是激励形式中最简单的一种，是理解系统对其他激励的基础2、运动微分方程：按达朗伯原理（动静法）：（1）〔注1：达朗伯原理：当一个力学系统运动时，它的任何位置都可以看作是平衡位置，只要我们在原动力上再加

3、上惯性力。这样就可以把任何动力学问题按相当的静力学问题来处理。〕按牛顿第二定律：最后都得到：一个自由度系统的振动P=P0sinωtxrkmPkx〔注2：简单说明一下各力方向，我们设位移x向下为正，取所有与x一致的力、速度和加速度为正。则P＝P0sinωt（为正），－kx（因弹性恢复力与位移反向），（因阻尼力与速度反向），（因惯性力与加速度反向）〕2、运动微分方程：（1）（关于x2，由方程（1）的非齐次P0sinωt可得特解，也是简谐函数，其频率与激振力一致。）一个自由度系统的振动P=P0sinωtxrkmPkx我们现在解这个微分方程，它比有阻尼自由振动微分方程多了右端激振力，是

4、一个非齐次线性微分方程。它的解包含两部分当阻尼为小阻尼时，x1是上章讨论的有阻尼自由振动，特点是振动频率为阻尼固有频率，振幅为指数衰减，称为瞬态振动或瞬态响应，x2是一种持续的等幅振动，它是由于简谐激振力的持续作用而产生的，称为稳态强迫振动或稳态振动。可见，系统受简谐振激励后的响应分为两个阶段，一开始的过程称为过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失，进入稳态阶段其中其中B和φ是特定常数，可以把x2代回微分方程（1）求出。——齐次方程解——非齐次方程（1）之特解〔注3：为什么这里“-φ”，只要系统有阻尼，振动位移肯定滞后于干扰力〕〔注4：非齐次方程（1）的特解一般用参数变换法求出

5、，但须积分。当（1）的右端具有某些特殊形式时，可直接用代数方法求出，叫待定系数法。〕一个自由度系统的振动用复数方法求特解复数形式：其中x是复数，设复数形式的特解为一个自由度系统的振动记为频率比，定义为其中——齐次方程解——非齐次方程（1）之特解一个自由度系统的振动我们这里利用矢量平衡关系定常数B、φ。一个自由度系统的振动这样，我们看到激振力P超前位移x2为φ；速度超前位移90°；加速度超前位移180°，又知，弹性力与位移x2反向；阻尼力与速度反向；惯性力与加速度反向。由方程（1）——它是个力的平衡方程可见，惯性力、阻尼力、弹性力及干扰力在任何瞬时都是“平衡的”，我们取即位移x2

6、达到最大值——振幅B这一瞬时，此时各力相位如图，便于确定常数B、φ。作旋转矢量图。一个自由度系统的振动（1）由矢量平衡必有：即一个自由度系统的振动P0Ф和以下公式等效：一个自由度系统的振动稳态强迫振动的基本特点：1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率而相位滞后于激振力的简谐振动2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质（质量，刚度，阻尼）和激振的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（初始条件）无关这样，我们就完全确定了特解x2。一个自由度系统的振动P0Ф无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当时得到：,这时：这样，我们就完全确定了特解x2。一个自由度系统的振动P

7、0Ф无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当时得到：,这时：我们知道，x的前一项代表有阻尼自由振动，随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下，它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B，相位差φ只与系统本身性质、激振力大小、频率有关，与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。一个自由度系统的振动x1x2ttxt瞬态过程稳态过程讨论我们主要感兴趣的是强迫稳态振动，即，经过一段时间后，有：一个自由度系统的振动1、幅—频特性——频率比（激振力频率与固有频率