第十五讲投影矩阵与moore-penrose逆

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1、第十五讲投影矩阵与Moore-Penrose逆1一、投影算子与投影矩阵nn设L，M为C的子空间并构成直和LMLMC+=⊕=.即n∀∈xC，∃唯一的y∈∈L,zM使x=y+z称y为x沿着M到L的投影。1.定义：将任意nxC∈变为其沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为P即PxyL=∈,投影算子是线性变换，其矩L,ML,M阵称为投影矩阵,仍记为P。L,M2.充要条件引理：设n阶方阵E为幂等矩阵，则N(E)=R(IE)−证明：22nEEE(IE)O=→−=→∀∈xC,E[(IE)x]0−

2、=→E[R(IE)]0−=⇒−⊆R(IE)N(E)另一方面∀∈xN(E),即Ex0=，则xIxOIxEx(IE)xR=−=−=−∈（IE−）⇒⊆−NERIE（）（）∴NERIE（）=（−）定理：n阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵。证明：充分性2nP=∀∈P,xC,令y=∈PxR(P),z=−(IP)xR∈（IP−=）N（P）。若RPNP0,PP（）（）={}则=确为投影矩阵，下面证之RPNP（）,（）∀∈xR(P)N(P),3n一方面，因x∈R(P),存在u∈=C使xPu2另一方面

3、x∈=N(P),即Px0.但Px=Pu=Pu=x→x0=⇒=R(P)N(P){0}。（P=I和P不等于I）n必要性P=P故∀∈xC，∃唯一分解y∈L,z∈M使L,MxyzP=+=且xy22x任意→Px=Py=y=Px→P=P↑yy0=+3.投影矩阵的构造nn设已知C的子空间L、M构成直和LMC⊕=,下面构造P。L,M4取L的一个基{x,xx}(设L为r维子空间)，M的一个基12r{y,yy}（则M的维数为n-r）。由直和关系知12nr−n{x,xx；y,yy}即构成C的一个基。故，

4、如令12r12nr−X=x,xx，Y=y,yy12r12nr−则[XY]为可逆方阵。另一方面xLPxx;∈→=yMPy0∈→=iL,MiiiL,Mi−1即PL,M[XY]=→=[XO]PL,M[XOXY][]可见，P的秩为r（rank（P）=dimR（P）=dimL）L,ML,ML,M5二、正交投影算子与正交投影矩阵n⊥nL为C的子空间，其正交补空间L={xxy（，）=∈∈0,xC,yL}（无H特别声明取xy）n⊥1.定义：设L是C的子空间，则称沿着L到L的投影算子P⊥为正L,

5、L交投影算子，简记为P。正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，L仍记为P。L2.充要条件：n阶方阵P为正交投影矩阵的充要条件是P为幂等的厄米矩阵。证明：首先证明两个引理:nH（1）对n阶方阵A，∀∈xC均有xAx=0则A=0，6H⊥（2）N（P）=RP（）TH(1)证明：设A=(a)ijnn×取x=[001(i)第个0]则xAx=aii=0T再取x000000ij=ξξ，，，，（≠），注意到a0=，ijiiH则xAx=ξξ+ξaaξiijjjjiiξ=ξ=1,则a+=a0ij

6、ijji→→==aa0统一考虑即A0=ijjiξ=ξ=−1,1,则a−=a0ijijjiHHH（2）证明：∀∈xN(P),即Px=→0xP=→0nHy∀∈C，x（Py）=0H⊥由y的任意性，知xRPNP⊥⇒⊆（）（）RP（）⊥nHH另一方面，设xR(P)∈即∀∈yC,均有x(Py)0=→xP=07HHH⊥→Px=→∈0xN(P)⇒N(P)⊇R(P)H⊥所以N（P）=RP（）现在证明该充要条件。充分性：2HPPPPPP=，=→=Rp（），Np（）=PRp（），Np（H）=PRp（），Rp⊥（）

7、=PRp（）必要性：PP=Ln⊥xC,∀∈可唯一地分解成yPxL,z(I-P)xLxyz=∈=∈使=+⊥HHHx任意H又yL,zLyz0xP(IP)x0∈∈→=→−=→P(IP)0−=HHHHHHP=PP=(PP)=(P)=P，P为厄米矩阵。8幂等已由上一定理得知。3.正交投影矩阵的构造⊥设L的一个基为{x,x12xr}，L的一个基为{y,y12ynr−}。则Hxy0=ijH令X=x,xx，Y=y,yy则XY0=12r12nr−−−1H1H(A=(AA)A)9−1−1

8、HHPL=[XOXY][]=[XO]{[XY][XY]}[XY]−−11HHHHXXXYHXX0X=[XO]HH[XY]=[XO]HHYXYY0YYYHXH1−−H1H=X(XX)O=X(XX)XHY三、投影矩阵与广义逆矩阵(i)AXA=→=AAXPR(A),N(AX)（ii）XAX=→=XXAPR(X),N(XA)AXA=AH→=AXPRA（）(AX)=AX10XAX=XH→=XAPRX（）(XA)=XAMoor