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时间:2019-02-23
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1、选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库立体几何基础题题库二(有详细答案)361.有一个三棱锥和一个四棱锥,棱长都相等,将它们一个侧面重叠后,还有几个暴露面?解析:有5个暴露面.如图所示,过V作VS′∥AB,则四边形S′ABV为平行四边形,有∠S′VA=∠VAB=60°,从而ΔS′VA为等边三角形,同理ΔS′VD也是等边三角形,从而ΔS′AD也是等边三角形,得到以ΔVAD为底,以S′与S重合.这表明ΔVAB与ΔVSA共面,ΔVCD与ΔVSD共面,故共有5个暴露面.362.若四面体各棱长是
2、1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)解析:该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点,实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力,首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除{1,1,2},可得{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2},然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体,再求其体积.由平时所见的题目,至少可构造出二类满足条件的四面体,五条边为2,另一边为1,对棱相等的四面体.对于五条边为2,另一边为1的四面体,参看图1所示,设AD=1,取AD的中点为M,平面
3、BCM把三棱锥分成两个三棱锥,由对称性可知AD⊥面BCM,且VA—BCM=VD—BCM,所以VABCD=SΔBCM·AD.CM===.设N是BC的中点,则MN⊥BC,MN===,从而SΔBCM=×2×=,故VABCD=××1=.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库对于对棱相等的四面体,可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·,不
4、妨令a=b=2,c=1,则V=·=·=.363.湖结冰时,一个球漂在其上,取出后(未弄破冰),冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴,求该球的半径.解析:设球的半径为R,依题意知截面圆的半径r=12,球心与截面的距离为d=R-8,由截面性质得:r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2.得R=13∴该球半径为13cm.364.在有阳光时,一根长为3米的旗轩垂直于水平地面,它的影长为米,同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上,如图所示,求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析:由题意知,光线与地面成60°角,设球的阴
5、影部分面积为S,垂直于光线的大圆面积为S′,则Scos30°=S′,并且S′=9π,所以S=6π(米2)365.设棱锥M—ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB,如果ΔAMD的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析:∵AB⊥AD,AB⊥MA,∴AB⊥平面MAD,由此,面MAD⊥面AC.记E是AD的中点,选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC,ME⊥E
6、F设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF,于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r,则r=设AD=EF=a,∵SΔAMD=1.∴ME=.MF=,r=≤=-1当且仅当a=,即a=时,等号成立.∴当AD=ME=时,满足条件的球最大半径为-1.366.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,期棱长为a.(1)求证BD⊥截面AB1C;(若一条直线垂直于一条斜线在这平面内的射影,则这条直线垂直于这条斜线)(2)求点B到截面AB1C的距离;(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面AC
7、B1.(2)AB=BC=BB1G为△AB1C的中心.AC=aAG=a∴BG==a(3)∠BB1G为所求cos∠BB1G=367.已知P为ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,求证:PD∥平面MAC.解析: 因M为PB的中点,连BD∩AC于O后,可将PD缩小平移到MO,可见MO为所求作的平行线.证明连AC交BD于O,连MO,选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库则MO为△PBD的中位线,∴PD∥MO,∵
8、PD平面MAC,MO平面MAC,∴PD∥平面MAC.368.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱B1C1,A1D1,D1D,AB的中点.(1)求证:A1E⊥平面A
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