小学数学奥数基础教程(五年级)

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1、小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共30讲余数问题　　在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。　　余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：　　（1）余数小于除数。　　（2）被除数=除数×商+余数；　　除数=（被除数-余数）÷商；　　商=（被除数-余数）÷除数。　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。　　（4）a与b的和除以c的余数，等于

2、a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积

3、大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。　　例15122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。　　5122-66=5056，　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到　　5056=26×79。　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99

4、之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。　　例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。　　解：因为被除数=除数×商+余数　　=除数×33+52，　　被除数=2143-除数-商-余数　　=2143-除数-33-52　　=2058-除数，　　所以除数×33+52=2058-除数，　　所以除数=（2058-52）÷34=59，　　被除数=2058-59=1999。　　答：被除数是1999，除数是59。　　例3甲、乙两数的和是1088，甲数

5、除以乙数商11余32，求甲、乙两数。　　解：因为甲=乙×11+32，　　所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，　　所以乙=（1088-32）÷12=88，　　甲=1088-乙=1000。　　答：甲数是1000，乙数是88。　　例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以

6、除数在17～70之间。　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。　　例5求478×296×351除以17的余数。　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）

7、÷17=9……1。　　所求余数是1。　　例6甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（

8、简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。　　（11×25）÷36=7……23，　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。　　练习14　　1.今天是星