2017年四川省中考突破复习题型专项(十)圆的简单证明与计算

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1、题型专项(十)　圆的简单证明与计算1．(2016·乐山)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EB＝，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．解：(1)证明：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠B＝∠ODC.∴OD∥AB.∵DE⊥AB，∴OD⊥EF.∴EF是⊙O的切线．(2)在Rt△ODF和Rt△AEF中，∵sin∠CFD＝，∴＝＝.设OD＝3x，则OF＝5x.∴AB

2、＝AC＝6x，AF＝8x.∵EB＝，∴AE＝6x－.∴＝.解得x＝.∴⊙O的半径长为，AE＝6.2．(2016·鄂州改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是∠CAB的平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值．解：(1)证明：过点O作OF⊥AB于点F.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF.∴AB是⊙O的切线．(2)连接CE.∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，即∠ECO＋∠OCD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴

3、∠ACE＋∠ECO＝90°.∴∠ACE＝∠OCD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∴∠ACE＝∠ODC.∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC.∴＝.∵tanD＝，∴＝，∴＝.3．(2016·云南)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.又∵AC平分∠BAE.∴∠OAC＝∠CAE.∴∠OCA＝∠

4、CAE.∴OC∥AE.∴∠OCD＝∠E.又AE⊥DC.∴∠E＝90°.∴∠OCD＝90°.∴OC⊥DC.∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(2)在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6.∴AD＝2AE＝12.在Rt△OCD中，∵∠D＝30°.∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC.∴DB＝OB＝OC＝OA＝AD＝4，DO＝8.∴CD＝＝＝4.∴S△OCD＝＝＝8.又∵∠D＝30°，∠OCD＝90°.∴∠DOC＝60°.∴S扇形OBC＝×π×OC2＝.∵S阴影＝S△OCD－S扇形OBC，∴S阴影＝8－.∴阴影部分的面积为

5、8－.4．(2016·广安岳池县一诊)如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若OC∶BC＝2∶3，求sinE的值．解：(1)证明：连接OA.∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∵OA＝OB，OP⊥AB，∴BC＝CA，PB＝PA.在△PBO和△PAO中，∴△PBO≌△PAO(SSS)．∴∠PBO＝∠PAO＝90°.∴PB为⊙O的切线．(2)连接AD.∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.由(1)知∠BCO＝90°，

6、∴AD∥OP.∴△ADE∽△POE.∴＝.∵BC＝AC，OB＝OD，∴OC是△ABD的中位线，∴AD＝2OC.∵OC∶BC＝2∶3，设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t.∵∠OBC＋∠PBC＝90°，∠BOC＋∠OBC＝90°，∴∠BOC＝∠PBC.∵∠OCB＝∠BCP，∴△PBC∽△BOC.∴＝，即＝，∴PC＝t，OP＝t.∴＝＝.设EA＝8m，EP＝13m，则PA＝5m.∵PA＝PB，∴PB＝5m.∴sinE＝＝.5．(2014·攀枝花)如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于点E.(

7、1)求证：AB＝AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若AB＝13，sinB＝，求CE的长．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.又D是BC的中点，∴AB＝AC.(2)证明：连接OD.∵O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC.∴∠ODE＝∠DEC＝90°.∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线．(3)∵AB＝13，sinB＝，∴＝，即AD＝12.∴由勾股定理得BD＝5.∴CD＝5.∵∠B＝∠C，∴＝，即DE＝.∴根据勾股定理得CE＝.6．(2016·苏州)如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于

8、AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；(3)设DE交A