函数奇偶性与单调性的综合应用 专题

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1、.函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.【复习旧识】1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数

2、值的大小；2.当题目中出现“＞0（或＜0）”或“＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；3.证明或判断某一函数的单调性；4.证明或判断某一函数的奇偶性；...1.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“＞0（或＜0）”时的取值范围）；2.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围.二、常用解题方法1.画简图（草图），利用数形结合；2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论.三、误区1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3.奇函数若在“”处有定义，

3、必有“”；4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制.四、函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（3）下结论.函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；（3）下结论.【典型例题】例1设是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若＝，＝，＝，则，，的大小关系是(　　)...A．B．C．D．【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质.【解析】　因为log

4、，所以log

5、奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题．【解析】解：（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知＞0，又x1﹣x2＜0，...∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，故有（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，即要t2﹣2at+1≥1成立，故

6、t2﹣2at≥0成立．即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．...【课堂练习】一、选择题1.函数y＝2－

7、x

8、的单调递增区间是(　　)A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，如果f(lgx)>f(1)，那么x的取值范围是(　　)A．(，1)B．(0，)∪(1，

9、＋∞)C．(，10)D．(0,1)∪(10，＋∞)3.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是(　　)A．y＝3x＋1B．f(x)＝C．y＝1－D．f(x)＝x34.如图是偶函数y＝f(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是(　　)A．f(－1)－f(2)>0B．f(－1)－f(2)＝0C．f(－1)－f(2)<0D．f(－1)＋f(2)<05.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；②f(b)－f(