物理实验指导书：非线性电路混沌现象研究

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1、海量资料超值下载非线性电路混沌现象研究一、实验目的1．观察混沌现象，了解非线性系统的一些特征。2．测量非线性电阻器件的特性曲线。学会用最小二乘法拟合线性方程和参数估计。3．测量混沌因子（费根鲍姆常数）。二、实验原理1．混沌的含义用非线性微分方程所描述的运动系统本身所存在的自发无序性在一些环境下所表现出的混乱状态，从而导致可科学预测性的消失。例如统计物理的热骚动、气象学的暴风骤雨、医学上的癫痫、社会学的经济危机等等。为了对混沌现象的直观易懂，兹介绍一种非线性的例子来说明由P.A.Bender得出的实验结果。如图1所示，在弹簧振子的平衡位置设置—质量较大的刚性砧，使物体撞击它以后，以同

2、样速率反跳。物体所受的撞击力显然不再与位移成正比，因此是非线性的。物体的位置随时间的变化由附体在物体上的笔在卷过的纸带上画出来，成为振动图线。下面介绍这种反跳振子在策动力F力幅不变而改变其频率时各次实验的结果。图1反跳振子图2中各图画出的实验结果是这样记录的：在任一频率的策动力驱动下，都先让此反跳振子振动若干次，以便使它达到稳定状态。然后连续记录100次物体反跳的最大高度(振幅)。其结果是在某些值时，这100次的振幅都一样，图上相应于这些值的振幅就各自具有一个值。这就是图2(a)中由一条细曲线表示的情况，这条细曲线有几个极大值，表示多次出现共振情况。出人意料的是，在某些值时出现了两

3、个、四个……不同的振幅，在某些频率区域甚至出现了振幅完全不确定，即100次中几乎每次高度都不一样的情况。这种完全不确定的情况由图2(a)中“撒胡椒面”的区域表示。为了更清楚地显示这种不确定性，两个“撒胡椒面”区域附近的情况在图2(b)，(c)中作了放大。下面依次说明这种情况。如图2(b)所示，在=0.205Hz时，每次反跳高度还是一样的，相应的振动图线如图3(a)所示。策动力频率增大到约0.2111Hz时，单一曲线开始分岔。这时物体这次反跳高一些，下次低一些，再下次又高一些，再下次又低一些……这样高低交替地反复下去。作为例子，图3(b)示出在=0.215Hz时这种分岔运动的振动图线

4、。这时的运动还是周期性的，不过频率已减为原来的一半，或周期已延长为原来的两倍了。这是一种分频现象，也叫做倍周期分岔。⑦海量资料超值下载图2反跳振子的反跳振幅和策动力频率关系图当策动力频率再增大时，会产生进一步的倍周期分岔。例如当=0．217Hz时物体振幅变为四个不同的值。这时运动还是周期性的，但周期已变为原来的四倍。更细的观察显示，随着频率的增大，分岔越来越多，而先后两次分岔出现的频率间隔越来越小，运动的周期也越来越长，以至于频率到达约0．218Hz时，分岔变成无穷多，而周期变为无穷大，即运动不再是周期性的了。这时物体反跳的振幅变得十分混乱，貌似随机。在=0．239Hz时，反跳振子

5、的振动图线如图3(c)所示。这种反跳振幅十分混乱的“稳定”运动，就是一种混沌运动。图2(c)画山了当策动力频率增大到约0．678Hz时义出现混沌的情况。图3反跳振子振动图线在出现混沌的频率范同内，振子的跳动也并不时完全彻底的混乱或随机的。图2各图中“撒胡椒面”区域的形状有一定的结构，显示它只有某种整体上的规律性。另外，也可以看到，当策动力的频率达到某些值时，反跳振子又会从混沌状态中走出来，回到简单的周期性运动。图2(a)中几个共振峰的出现就是这种情况，即使在混沌区域，也有一些简单运动的“窗口”，如图2(b)中频率在0.23Hz的情况。反跳振子的混沌运动，除了每一次实验表现得振幅变化

6、无常，十分混乱外，在同一频率的策动力驱动下的几次混沌运动，由于起始条件的不同，其混乱情况也各不相同。图4画出了频率为0.239Hz的策动力的驱动下，五次初值稍有不同(其差别在实验误差范围之内)的混沌振动曲线。最初的几次反跳基本上是一样的。但是，随着时间的推移，它们的差别越来越大。这显示反跳振子的混沌运动对初值的极端敏感性——⑦海量资料超值下载最初的差别会随时间逐渐放大而导致明显的巨大差别。这样，本来任何一次混沌运动由于其混乱复杂，就很难对其过程进行预测，再加上这种初值敏感性，而初值在任何一次实际的实验中部不可能精确地给定，所以对任何一次混沌运动，其进程就更加不能预测了。2．一个非线

7、性系统，并非在任何条件下都做混沌运动，只有当某个参量(如上述反跳振子系统中策动力的频率γ)达到某阈值时，系统才进入混沌状态。在此之前，系统的运动是相继出现周期分岔，分岔的间隔值愈来愈小，1978年费根鲍姆发现λ值的间隔之比逐渐趋于一个常数F这一常数现在通常叫费根鲍姆常数(亦有人叫混沌因子)在我们的仪器上，λ即负值上的电压V，只有当V达到某一VK值才有相图开始的12的分岔，到时有24的分岔，到，时才有4→的开始分岔。因分岔愈来愈密，所以很难测至多级就已达阵发混沌状态。F