倒過來、倒過去－如何才能賓主盡歡

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1、倒過來、倒過去－如何才能賓主盡歡一、研究動機今天學校舉辦園遊會，阿美被老師指定與阿珠一組，負責賣紅茶，兩人準備了一大桶的紅茶，以及一個三百CC和五百CC的杯子，在校園搭起了棚子，開始作起生意來，每位同學不是買三百就是五百CC，兩人也很順利地賣了不少紅茶。突然有一個高年級的男生滿身大汗跑了過來，氣喘喘地開口說：「我要七百CC的組茶。」這可傷腦筋了，阿美和阿珠要怎麼辦呢？二、研究目的二種不同容量的杯子，如何運用其容量的差異，導出所要的容量。三、研究設備器材1、紙杯2、300CC杯子2個4、500CC杯了2個四、研究方式（一）、針對阿美和阿珠遇到的問題，看是否

2、能只以300CC和五百CC的杯子，求出穴容量為700CC的容量。（二）、除了700CC外，從100CC~1000CC的容量，是否也能求出？五、研究結果（一）把二杯500CC的玻璃杯裝入紙杯，此時紙杯內容量為1000CC再把紙杯內的紅茶倒到300CC的玻璃杯，直到杯滿為止，此時紙杯內容量就剩下700CC阿美和阿珠的問題得到解決，使得賓主盡歡。以數字列出此一數學問題的結論：700＝2×500－1×300（二）除了700CC外，100~1000CC的容量，是否也能求出呢？1、100CC把2杯300CC的玻璃杯裝滿倒入紙杯，此時紙杯內容量是600CC再把紙杯內的

3、600CC倒出紅茶到500CC的玻璃杯，直到杯滿為止此時紙杯內的紅茶就是100CC將數字間的關係列出：100＝2×300－1×5002、200CC將500CC的玻璃杯裝滿倒入紙杯，此時紙杯內容量是500CC再將500CC倒出紅茶到300CC的玻璃杯，直到杯滿為止。此時紙杯內即剩下200CC將數字間的關係列出：200＝1×500－1×3003、300CC把300CC的杯子裝滿即是。300＝1×3004、400CC將500CC的玻璃杯2杯倒入紙杯，此時紙杯內容量是1000CC再將裝有1000CC紅茶的紙杯，從其中倒出紅茶到2個300CC的杯中，且都裝滿。這時

4、紙杯內的量即剩下400CC將數字間的關係為：400＝2×500－2×3005、500CC把500CC的杯子裝滿即是500cc。500＝1×5006、600CC把2杯300CC的玻璃杯裝滿倒入紙杯，此時紙杯內容量是600CC數字間的關係為：600＝2×3007、700cc已於（五）－（一）中求出8、800CC把一個300CC的玻璃杯裝滿倒入紙杯，此時紙杯內容量是300CC的紅茶。再將500CC的玻璃杯也裝滿，也同樣倒入紙杯中。此時紙杯內共有800CC，即合所求。數字間的關係列出：800＝1×300＋1×5009、900CC將3杯300CC的玻璃杯裝滿，或將

5、1個300cc的時紙杯內容量是600CC數字間的關係為：600＝2×30010、1000CC把2杯500CC的玻璃杯裝滿，或把1個500CC的玻璃杯先後裝滿2次，倒入紙杯內，即為所求之1000CC數字間的關係為：1000＝2×500六、討論：（一）、以300CC和500CC容量的杯子，為何能求出所需的從100CC－1000CC的量，二者之間有何數學原理上的關係？我們試著以（組）400CC和600CC或（組）200CC和400CC來求出從100－1000CC，發現這二組容量並不能全部達目的。（組）400CC和600CC（組）200CC大400CC200＝1

6、×600－1×400200＝1×200400＝1×400400＝1×400600＝1×600600＝2×400－1×200800＝2×600－1×400800＝2×200＋1×4001000＝400×1＋600×11000＝3×200＋1×400且所求出的容量，去掉數字零；均為2、4、6、8，奇數1、3、5、7、9均為互質。在討論（一）題目中，我們用的容量300和500去掉數字零為3、5，3和5互質，100CC和1000CC的容量均可求出，可見因二數字間互質關係，故能求出所需的容量。七、結論（一）、從以上研究發現，阿美和阿珠所遇到的問題，不僅700CC，

7、從100CC-1000CC均可獲得解決。（二）、300CC和500CC能求出100CC和1000CC，是因為二者去掉零以後的3和5互質的關係。如果拿400CC和600CC或是200CC和400CC，即不能求出所需之700CC。（三）只要兩個容器的容量（即沒有公因數），那無論你要多少CC的紅茶，都可以經由這兩個杯子「玩來玩去」就可以解決了。八、參考資料數學與生活非凡出版社