弦cd垂直于圆o的直径ab

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3、=∠ABC，因此，点F、K、B和E四点共圆．于是∠FKB=180°-∠FEB=90°，所以FK∥CD．作CG∥AB交AF的延长线于G点．由△AOH≌△GCH得CG=AO=AB／2．又由△AFB∽△GFC，得所以 BF=2CF．再由△BLC∽△BKF，得由△MKF∽△MDC，得即MC=3MF，CF=2MF．又因为BF=2CF，所以MB=BF-MF=2CF-MF=4MF-MF=3MF=MC C1-112已知AB是半圆O的直径，一直线交半圆于C、D，交AB于M（MB＜MA，MD＜MC），设K是△AOC和△DOB外接圆的第二个交点．证明：∠M

4、KO是直角．【题说】 第二十一届（1995年）全俄数学奥林匹克十年级题6．【证】 设△AOC的外接圆圆心为O1，OP为直径；△DOB的外接圆圆心为O2，OQ为直径（如图）．连心线O1O2垂直平分公弦OK且O1O2是△OPQ的中位线，所以直线PQ通过K点且垂直于OK．线段PO是过A点的圆O1的直径，所以∠PAO是直角，因此线段PA与半圆O相切，同理PC、QB、QD都与半圆O相切．设F点是直线PC与QD的交点．过P引PE∥QD交DC的延长线于E点，则∠QDM=∠PEM．由FC=FD得∠QDM=∠FDC=∠FCD=∠PCE，所以PC=PE，

5、又PC=PA，QB=QD．△PAE与△QBD都是等腰三角形，且边PA∥QB，PE∥QD，所以∠PAE=（180°-∠APE）／2=（180°-∠BQD）／2=∠QBD，AE∥BD．于是以M为位似中心，位似比为MA∶MB的位似变换将点B变为点A，点D变为点E，又因为△PAE∽△QBD，所以点Q位似变换为点P，这就是说PQ过M点，从而∠MKO=90°． C1-113在△ABC的三边AB、BC与CA上分别取点M、K、L（不与△ABC的顶点重合），证明：△MAL、△KBM、△LCK中至少有一个的面积不大于△ABC面积的四分之一．【题说】第八届

6、（1966年）国际数学奥林匹克题6．本题由波兰提供．【证】因为 C1-114过三角形的重心任作一直线，把这三角形分成两部分．证明：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的1／9．【题说】1978年安徽省赛二试题3．【证】设直线过△ABC的重心G，分别交AB、AC于D、E．过G作BC的平行线，分别交AB、AC于P、Q．由于G是重心，所以PG=GQ．设E在线段AQ上，则D在线段AP延长线上．设AC上的中线为BF．过P作AC的平行线，分别交DE、BF于R、S．易知RG=GE，SG=GF，所以S△PDG＞S△PRG=S△QEG         

7、                                                                                               （1）S△DBG＞S△RSG=S△EFG                                                                                                        （2）由（3）、（4）得 C1-115设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、DA的中点分别

8、为E、F、G、H．证明：【题说】1978年全国联赛二试题4．【证】如图，HE∥DB∥GF，同理EF∥HG，故EFGH为平行所以         面积ABCD≤EG·HF设M为BD的中点，则 C1-116正方形ABCD的一