应用数学方向动力系统第六章 溷沌性态

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1、第六章混沌性态上世纪70年代以来，科学技术的迅猛进步引起了非线性现象研究的蓬勃开展。目前，非线性问题的研究已形成了许多新的学科分支，如混沌动力学、分形几何、孤立子理论和复杂性理论等。本章研究混沌动力学作一个简要介绍。6.1一维映射的混沌性态任意给出闭区间同胚映射（更一般地可假设只是连续的，未必有逆，则仅考虑由正向迭代，所生成的半动力系统），则由所生成的一维离散流却可以具有甚为复杂的动力性质—混沌性态。这在许多一维应用模型中用数值方法较早地被发现，而严格地给出混沌（chaos）的数学定义则是1975由Li和Yor

2、ke完成的，见[4]。他们考虑闭区间，简单地，可取上定义的连续函数，因未必单值，故考虑由，所生成的半动力系统。定义1.1若满足以下三个条件：(i)对任意自然数，有，使，且时的周期点，；(ii)存在不可数集合，使得当时，有；(iii)对任意周期点和，有则称在上为混沌的。由定义的条件可以看出，混沌性的要求实际上说明由在上所生成的运动具有很混乱的状态。一方面其中有可数多个不同周期的周期运动，且条件(iii)说明其它运动都不渐近于这些周期运动；另一方面，除这些周期运动外，还有更多的不可数集上的运动，其中任意两个运动之间

3、若即若离，(ii)说明了它们有时靠得很近，有时又保持一定距离，且随增大，一直如此。即使两个运动的初始值靠得很近时也是如此，故称这种性质为对初始值的极端敏感性。这两种周期与非周期的运动混杂在一起，就表现出上的运动的复杂的混沌性态。定理1.1若具有一个3-周期点，即存在使，则在上为混沌的。该定理的证明可以用初等分析方法完成，详情这里从略，可参见原文[]或[]。实际上，上世纪60年代前苏联数学家A.Sarkovskii（见文[5]）就曾证明过更一般的结论，他把自然数重新排列如下（通常称为Sarkovskii序）(1.

4、1)定理1.2若具有-周期点，则对序列(1.1)中以后的任一自然数，必具有-周期点。显见，在时的特例情形，它就成为定理1.1中由具有3-周期点推出它具有以一切自然数为周期的结论，从这一点上看，定理1.2的结论要比定理1.1的相关结论广泛得多。当然，文[]未涉及混沌性态。一维映射具有混沌性态的例子很多，且有着广泛的应用背景，例如著名的Logistic模型即是其中的一个，它可视为有极限增长的虫口模型。从经济应用中亦可导出该模型[7]。例题1.1设某种商品的第期市场价格为则由市场价格平衡所确定的市场价格模型为，(1.

5、2)其中为适当常数，寻求线性变换以简化此模型，设为方程的正实根，令则式(1.2)可化为，(1.3)其中视为系统的参数。记，它代表了区间上的一个连续可微的自映射，其周期点对应于方程(1.4)的解（时为不动点），它在平面上对应为与直线在第一象限的交点。由于，故当时，只有唯一的平凡点。以后则出现非平凡的不动点及周期点。当时，将有两个2-周期点，对应于4次方程的正根。越大时，方程(1.4)的次数就越高，只能用数值方法求解。已得出下述一系列的值：这些值均为分支值。因随着的增大而经过时，系统(1.3)将分支出新的周期点。当

6、时，将具有所有以方幂及其它整数为它的周期点而出现混沌性态，见图1.1。这种现象常称为倍周期分岔。图1.1倍周期分岔在这种倍周期分岔以至于呈现混沌的过程中，M.Feigenbaum发现了一个重要的规律，即如下极限值存在：。(1.5)且证明了对各种不同的线段映射出现倍分岔的一系列参数值，尽管因具体映射不同而不同，但其极限值(1.5)均为同一常数。因此这是一个普适常数（universalconstant），被称为Feigenbaum常数。这也说明了，在一维离散动力系统中，混沌性态是很普遍的现象，从上世纪70年代起，对

7、它们的研究，包括圆周上的自映射所定义的一维系统的研究成果极为丰富。许多人把定义1.1作了各种改进与推广，并讨论满足怎样的条件时会出现混沌性态，以及相关的周期点集，非游荡集等等之间的关联性质。又联系到概率测度中的拓扑熵、Liapunov指数等，进一步与任意维数的概率测度空间上的遍历理论（ergodictheory）相联系[9]和[10]。6.2二维映射的混沌性态，Smale马蹄为了阐述二维映射所确定的离散系统中出现的混沌性态，须用到符号动力系统的一些有趣的动力性质，早见于[]，现作一简介。2.1符号动力系统取数字

8、1和2作为两个符号集，记整数集为。任意取的元素可排列成如下的双向无限的二重序列：(2.1)其中，。式(2.1)所确定的称为一个符号序列。注意，一个序列的中位置（零位置）必须指出，例如，有两个不同的周期序列都可以写成：一个是，另一个是。所有可能作出的各种不同的符号序列的集合记作(2.2)易见集合具有连续统的势，即为一个不可数的Cantor集。对中的另一个元素定义与间的距离函数（非负实数的