变换群(transformation

《变换群(transformation》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、节葿袄聿芈蒈肇莄薆蒈螆膇蒂蒇衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃薄螃膃葿薃袅羆莅薂羈膂莁薂螇羅芇薁袀芀薆薀羂肃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃蚇袆芇腿蚆罿聿蒈蚆蚈芅蒄蚅袀膈莀蚄羃莃芆蚃肅膆薅蚂螅罿蒁蚁袇膄莇螀罿羇芃螀虿膃腿蝿螁羅薇螈羄芁蒃螇肆肄荿螆螆艿芅螅袈肂薄螄羀芇蒀袄肃肀莆袃螂芆节葿袄聿芈蒈肇莄薆蒈螆膇蒂蒇衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃薄螃膃葿薃袅羆莅薂羈膂莁薂螇羅芇薁袀芀薆薀羂肃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃蚇袆芇腿蚆罿聿蒈蚆蚈芅蒄蚅袀膈莀蚄羃莃芆蚃肅膆薅蚂螅罿蒁蚁袇膄莇螀罿羇芃螀虿膃腿蝿螁羅薇螈羄芁蒃螇肆肄荿螆螆艿芅螅袈肂薄螄羀芇蒀袄肃肀莆袃螂芆节葿袄聿芈蒈肇莄薆蒈螆膇蒂蒇衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃薄螃膃葿薃袅羆莅薂羈膂莁薂螇羅芇薁袀芀

2、薆薀羂肃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃蚇袆芇腿蚆罿聿蒈蚆蚈芅蒄蚅袀膈莀蚄羃莃芆蚃肅膆薅蚂螅罿蒁蚁袇膄莇螀罿羇芃螀虿膃腿蝿螁羅薇螈羄芁蒃螇肆肄荿螆螆艿芅螅袈肂薄螄羀芇蒀袄肃肀莆袃螂芆节葿袄聿芈蒈肇莄薆蒈螆膇蒂蒇衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃薄螃膃葿薃袅羆莅薂羈膂莁薂螇羅芇薁袀芀薆薀羂肃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃蚇袆芇腿蚆罿聿蒈第8讲§5变换群(Transformationgroup)（2课时）本讲的教学目的和要求:在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要理论意义的群─变换群。变换群的重要特点在于，一方面可以说它是一种非常具体的群。它的元素都具有明确的具体的意义，从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义；另一方面，这种非

3、常具体的群具有普遍的意义：它代表了一切可能的群，这一点是靠凯莱定理来完成的。因此，要求：1、理解什么是变换群；变换群的理论意义。2、凯莱定理的内容以及定理的证明过程。本讲的重点和难点：研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。故此，本讲中自然以凯来定理为重点，而其难点是有下列二个

4、方面：（1）通过教材中定理1、定理2的论述对变换以及有关性质有一个清醒的认识。（2）撑握凯来定理（定理3）的证明手法。注意：本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变：将改成:也就是说,过去我们的记法“”将变为“”于是要当心：用教材的话是说：当是映射时，用“”.当是变换时，使用“”.一、变换群的概念和基本性质（1）集合的变换和表示形式定义1设是一个非空集合，若是到的任一子映射那就称是的一个变换（注：这个定义在第一章中曾出现过）.在表示形式方面，若，现将改写为.这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：如果都是的变换，那么也显然是的变换，并且这时要注意：应该是（而过去是写成：在合成的表示形式上，要习惯

5、这种改变.例1．设｛１，２｝．现取出的几个变换　　　（即　）　　　（即　）　　　（即　）　　　（即　）可以看出．是的全部变换．其中和是双射．并且是恒等变换．习惯上记　　（或　）利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）：２；２２．　即　这表明　　·同理知．利用是恒等变换．则　（．这是因为　　并且又有．定义２．设是一个非空集合，而是的恒等映射，那么，对的任一个变换，都有　二．变换群的概念设是一个非空集合，而的一些变换能否形成一个群呢？就以例1做比方。令：为的全部变换组成的集合。对于映射通常的乘积，能成为群吗？能容易知道，肯定是一个motroid,那么“逆元”问题能解决吗？事实上，就没有逆元.因为如

6、果有逆元.那么必有且.但我们会发现：而这说明即不能成为群。（同理可知，也没有逆元）上面的所以不能成为群，主要是和不是双射（它们没有逆元）因此，我们有定理1设是的一些变换作成的集合，并且，若能成为群.那么只能包含的双射。证明：任取.经证是满射又是单射.首先，因为.由于群中的单位元唯一.由定义2必是中的单位元.是满射：于是.这说明是的原象.是满射.是单射：设.如果，那么是单射由上分析知.是个双射.定义3一个集合的若干个双射做成的群叫做的一个变换群.结论：设是集合的一个变换群.证明：的单位元必是恒等变换.【证明】：设是的单位元.？欲证只需说明都有即可.事实上，故.由于是双射.对于而言必存在使（是满射

7、）所以,定义3只告诉我们什么是变换群，但对于集合来说，的变换是否一定存在呢？下面的定理将解答这个问题.定理2设为非空集合，由的全部一一变换（双射）必定能够构成的一个变换群.【证明】设,须证满足群第0定义.(1).因为都是双射.由第一章知必是也是双射.即.(封闭性)(2)凡是映射都满足结合律中的元素必也满足结合律.(3)因为恒等变换就是的单位元.(由结论)(4)是双射,由第一章知必有逆映射使.故逆映