利用向量运算提升学生的运算能力

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时间:2019-02-21

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1、利用向量运算提升学生的运算能力第一,学生要对运算对象——向量有个充分的认识。认识高中阶段向量的价值,向量的作用以及向量出现的背景等。学生对它有所认识以后,那么对它的运算就会自如一点。第二,对向量运算以及运算法则的认识。这一点很重要。比如向量的加法和减法运算,运用三角形法则或者平行四边形法则,认识到向量的加法和减法运算得到的还是一个向量。向量运算满足交换律和结合律,有时可以简化运算。特别在向量的数量积运算,对其定义及运算法则的认识。第三.对于向量运算的应用有所了解。向量可以用来推导三角恒等变换。第四,在对向量运算及运算法则有深刻认识之后,要有针对性的布

2、置课堂或课外作业,重视作业的反馈,至于反馈方式可以当堂反馈,也可以通过批改讲评。特别在题目选择方面,一定要精选题目,既要各种类型的运算都要出现,又要具有代表性。在练习的过程中,培养学生举一反三和举三反一的能力。第五,对向量运算,适当练习和反馈后,总结错误原因,矫正计算错误。掌握公式的推导过程,灵活运用。适当周期性的布置练习进行巩固。【典例解析】例1.已知△中,过重心的直线交边于,交边于,设△的面积为,△的面积为,,,则(ⅰ)(ⅱ)的取值范围是.【解析】设,,,,因为是△的重心,故,又,,因为与共线,所以,即,又与不共线,所以及,消去,得.(ⅰ),故;

3、(ⅱ),那么,当与重合时,,当位于中点时,,故,故但因为与不能重合,故(2)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则4①(·)-(·)=②

4、

5、-

6、

7、<

8、-

9、③(·)-(·)不与垂直④(3+2)(3-2)=9

10、

11、2-4

12、

13、2中,是真命题的有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析:(1)答案:D;因为,而;而方向与方向不一定同向(2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知

14、

15、、

16、

17、、

18、-

19、恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;③因为[(·)-(·)]·=(·)·-(·)·=0,所以垂直.故③假;

20、④(3+2)(3-2)=9··-4·=9

21、

22、2-4

23、

24、2成立。故④真。点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。题型2:向量的夹角例2.(1)过△ABC的重心任作一直线分别交AB,AC于点D、E.若,,,则的值为()(A)4(B)3(C)2(D)1解析:取△ABC为正三角形易得=3.选B.评析:本题考查向量的有关知识,如果按常规方法就比较难处理,但是用特殊值的思想就比较容易处理,考查学生灵活处理问题的能力.(2)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且,那么与的夹角的大小是。(3)已知两单位向量与的夹角为,若

25、,试求与的夹角。(4)

26、

27、=1,

28、

29、=2,=+,且⊥,则向量与的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:(2);[来源:学科网](3)由题意,,且与的夹角为,所以,,4,[来源:学科网ZXXK],同理可得。而,设为与的夹角,则。(4)C;设所求两向量的夹角为   [来源:Z#xx#k.Com]  即:所以点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握题型3:向量的模例3.已知=(3,4),=(4,

30、3),求x,y的值使(x+y)⊥,且|x+y|=1。解析:由=(3,4),=(4,3),有x+y=(3x+4y,4x+3y);又(x+y)⊥(x+y)·=03(3x+4y)+4(4x+3y)=0;即25x+24y=0①;又|x+y|=1|x+y|2=1;(3x+4y)2+(4x+3y)2=1;整理得25x2+48xy+25y2=1即x(25x+24y)+24xy+25y2=1②;由①②有24xy+25y2=1③;将①变形代入③可得:y=±;4再代回①得:。点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想。题型4:向量垂直、平行的判定例4.已知向量,,且

31、,则。解析:∵,∴,∴,∴。例5.已知,,,按下列条件求实数的值。(1);(2);。解析:(1);(2);。点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算题型5:平面向量在代数中的应用4

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