利用三角和向量提升学生的运算能力

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1、利用三角和向量提升学生的运算能力单晓敏有些数学老师抱怨:“明明是一些很简单的运算题，但是不少学生包括一些基础还不错的学生就是算不对.”学生也经常到一些明明会做的题目，但一算就错.这些问题不能简单的认为是学生不仔细导致的，其实这反应了不少学生运算能力是比较差的.高中的数学学科是一门重要的基础学科，运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数形结合能力是高考考查的重点，而其中最重要的就是运算能力的培养和提升.  回顾这几年数学科高考，发现学生因运算能力弱，导致运算失误而失分的现象普遍存在。更令人不解和担忧的是，相当部分的人把问题的原因简

2、单地归结为“粗心大意”，而忽视了深究，因此一错再错，其结果当然是投入最多，过程最苦，产出最少。所以说，一定要通过提高数学运算能力，来应对“新高考”的挑战。 在三角函数与平面向量交会点处命制试题，目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形能力、运算能力、推理能力，同时也有利于考查学生对平面向量的综合运算能力.题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】　已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函

3、数y＝2sin2B＋cos的最大值.题型二.　三角函数与平面向量垂直的综合·已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．题型三.　三角函数与平面向量的模的综合【例3】　已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，

4、－

5、＝.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.题型四　三角函数与平面向量数量积的综合·设函数f(x)＝·.其中向量＝(m，cosx)，＝(1＋sinx

6、，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求；（2）若，且，求．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】（2007年高考陕西卷），其中向量，，，且函数的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例7】设向量，函数.（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.题型

7、八：三角函数平移与向量平移的综合【例8】把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，

8、

9、＝)的图象，则和B的值依次为（）A．，－3B．，3C．，－3D．－，3题型九：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例9】已知，为的最小正周期，，求的值．题型十：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例10】如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。课后思考：首先，我们要认清计算错误产生的原

10、因，总结如下：1.认识不到培养运算能力的重要性，不少学生和老师对传统的笔算和口算有所忽视，只要题目一算错，就拿粗心做挡箭牌，甚至对稍微复杂的运算有畏惧心理，因为不注重培养，使得运算能力越来越差.2.基础不扎实，运算能力的培养是从低到高、从简到繁，从具体到抽象，比如简单的分式运算不熟练，那么有关分式的代数运算就容易出错.所以我们对基础运算能力的培养要严格抓紧，不能让学生一开始就失去信心.3.书本上所要求的一些重要的概念公式记忆理解不清.高中数学所学内容较多，课时却很紧，各部分内容相对独立，平时练习反复次数少，学生容易遗忘、混淆.基

11、本的数学概念公式的记忆不清，会降低运算的速度，4、不良的计算习惯部分学生由于计算书写马虎，字迹潦草；无论数字大小，是否熟练一律口算，不愿意动笔演算；计算结束后也不会运用估算和验算等方法认真检查。  那么，如何解决计算错误这一难题？我认为应该从以下几个方面着手：  1、复习中，学生要提炼高考热点，查漏补缺，针对易错的地方加强练习，熟练掌握解决中低档题目的方法。在此，提醒考生，千万别排斥高频率的模拟测试，它能帮助学生掌握答题的节奏、技巧，稳定心理状态，提高动手能力。适当加强运算能力的训练。根据考试说明的变化， 应加强这方面的训练，尤

12、其是要训练如何灵活选择较简运算途径解决繁杂计算的能力。    2、运算过程合理，对公式和法则做到能正用、反用、变用和活用，寻求运算方法简便不仅是迅速解题的关键也为运算结果正确提供了必要的保证。因此必须培养学生善于进行符合逻辑的联想，手脑并用，养成用理论思维指导计