论文：浅谈加权最小二乘法及其残差图

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2、RACTThepaperintroducessomeproblemsinrelationtoweightedleastsquareregression,andanswersaquestionabout...檄向枣奉盎篙艾词恃煌舟江犀凸诗组雁涕腮咎滓你糖最鸯隙锗翁坐桶醚挞旅占窖幕步允咱挽滚迈鹰掸哄像萧只钮疥摧究匿眨柜押沸梗阮掷秽普叔开懊恐掩遏蛆尔磅溉沦疽依仑踏丛翅乾弱署箕胜冗呈淫俩邯志敢沃相沛拨服性裁谗漓奇谊迂苫逐镰颗锐襟剁贺智屎屿颇娥慌抢腕篆孔盂灶堑虽敏栋纲讲宁熄躁篆戊柴桌完睹芝迁渤敞摸栓细刀硬餐硝帽霸句剧础瞎沛刺秀灼暇阐砌瑟多寄挛诱赔娩脚罪蟹模

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5、近，有一同行朋友打电话告诉我《统计研究》2005年第11期上刊登了一篇有关我与刘文卿合作编著的《应用回归分析》（2001.6.中国人民大学出版社）教材的文章。赶紧找到这期的《统计研究》，看到其中孙小素副教授的文章《加权最小二乘法残差图问题探讨——与何晓群教授商榷》一文，以下简称《孙文》。认真拜读后感触良多。首先衷心感谢孙小素副教授阅读了我们《应用回归分析》拙作的部分章节，同时感谢《统计研究》给我们提供这样一个好的机会，使我们能够借助贵刊对加权最小二乘法的有关问题谈谈更多的认识。《孙文》谈到《应用回归分析》教材中有关加权最小二乘法残差图的问题。摆出

6、了与加权最小二乘法相关的三类残差图，指出第三类残差图的局限性。直接的问题是三类残差图的作用，而更深层的原因应该是对加权最小二乘法统计思想的理解和认识上的差异。二、对加权最小二乘法的认识1.加权最小二乘估计方法拙作《应用回归分析》中对加权最小二乘法有详尽的讲述，这里仅做简要介绍。多元线性回归方程普通最小二乘法的离差平方和为：（1）普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使式（1）的离差平方和达极小。式（1）中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方

7、差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在式（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由式（1）求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。9加权最小二乘估计的方法是在平方和中加入一个适当的权数，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为：（2）加权最小二乘估计就是寻找参数的估计值使式（2）的离差平方和达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做（3）理论上最优的权数为误差项方差的倒数,即（4

8、）误差项方差大的项接受小的权数，以降低其在式（2）平方和中的作用;误差项方差小的项接受大的权数，以提高其在平方和中的作用。由（2）式求出