点线面距离公式毕业论文

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1、目录摘要1关键词11引言12空间点到直线距离公式的探析与应用12.1点到直线的距离公式及证明12.2直线方程的转换32.3点到直线距离公式的应用43两直线间的距离探析与应用53.1异面直线间的距离公式及证明63.2异面直线距离公式的应用74点到平面距离的探析与应用84.1点到平面距离公式的证明84.1.1一般化证法84.1.2体积法的形象证明94.2点面公式的应用10参考文献12谢辞13德州学院数学科学学院2016届数学与应用数学专业毕业论文点、直线、平面间距离公式的探析与应用（德州学院数学科学学院，山东德州253023）摘要:根据两向量的向量积、点

2、与平面间的离差、向量的射影、向量积和混合向量积的几何意义及平面的法式方程等给出了空间几何中点到直线的距离、两异面直线间的距离、点到平面的距离公式以及对公式的多种推导方法.关键词:向量;距离;点与平面的离差;公垂线;平面的法式方程1引言在空间几何中，关于点、直线与平面的位置的讨论一直成为大家研究的焦点.并且主要围绕着点到直线距离、点到平面距离、两异面直线间距离的计算出现了多种思路与公式证法：对于点线距离我们可以借鉴的就有向量内积或外积法、平面束法、离差外积结合法；对于空间异面直线我们可以利用公垂线，也可以利用空间几何图形来求证；点面距离公式存在多种证明

3、如利用平面的向量式方程来推导、利用离差与法式方程证明和利用距离公式法.因此经过多方查证与参考，本文主要利用向量积、离差与射影、空间几何图形和法式方程等方法对点线距离、点面距离与异面直线距离的公式及证明进行了一定的整理并加以应用，从而使大家更清晰的理解该重点内容.2空间点到直线距离公式的探析与应用点到直线距离是几何的重点内容之一，在高中的平面解析几何乃至大学空间解析几何中均有重点体现.点与直线的位置关系有两种,即点在线上与点不在线上.当16德州学院数学科学学院2016届数学与应用数学专业毕业论文点不在线上时,我们来求点到直线距离.那么什么是点到直线距离

4、呢?我们给出定义:一点与空间直线上点之间的最短距离叫做该点与空间直线的距离.同时,下面我们给出距离的两种公式及证明.2.1点到直线的距离公式及证明定理1空间点到直线L:的距离为.⑴其中，为直线上一点，向量为直线方向向量.图1证明首先，我们考虑以与直线方向向量为邻边构成的平行四边形.它的面积为.设点到直线的距离记为，则也是该平行四边形底边上的高.这个平行四边形的面积也等于底边与高的乘积，即,所以.16德州学院数学科学学院2016届数学与应用数学专业毕业论文定理2已知空间点与直线L:,则其距离为.⑵其中.证明已知平面，由点向平面引垂线，垂足为Q，那么向量

5、在平面的单位法向量上的射影叫做点与平面间的离差，记作，即.可知，对于平面上任意一点，.设为平面的法化因子，则任意一点对平面的离差是,所以.设方程为，，是的法向量，是的法化因子，则与相交于L.对于L上任意一点，与的离差，且.已知直线的方向向量为，其中，那么根据向量的双重外积计算公式可以推出16德州学院数学科学学院2016届数学与应用数学专业毕业论文，因为，平面的单位法向量所以，那么,其中是平面的法式化因子，为点与平面间的离差.同时由定理1得,所以.2.2直线方程的转换我们在解题中要想直接利用已知的公式一般是不太可能的，经常需要进行一定16德州学院数学科

6、学学院2016届数学与应用数学专业毕业论文的转化，达到我们所利用的条件.所以为了更便捷的使公式帮助我们解决问题，我们在这里给出直线公式的转换.我们设直线的一般方程为记，则，，.如果，则取,得则直线方程化为标准方程.2.3点到直线距离公式的应用例1求点M(2,3,-1)到直线的距离.解，取得16德州学院数学科学学院2016届数学与应用数学专业毕业论文，.则直线一般方程转化为标准方程为，由公式⑴.并且代入点M得.所以通过对定理1的应用我们求出点M到直线的距离为.例2求点到直线的距离.解由题意可知平面的法式方程为，所以单位法向量.的法式方程为，所以单位法向

7、量.点、、带入公式⑵16德州学院数学科学学院2016届数学与应用数学专业毕业论文.得.所以通过对定理2可知点到直线的距离为.3两直线间的距离探析与应用空间两直线的相关位置有异面和共面两种情况,当两直线共面时对于求两直线的距离我们在中学时候已经了解了，这里我们主要探讨空间直线异面的情况.首先我们给出两直线距离定义：空间两直线上的点之间的最短距离，叫做这两条直线之间的距离.在求距离之前要先会判断两直线是否异面,我们设两直线和的方程为，.那么两直线和异面的充要条件为.3.1异面直线间的距离公式及证明定理3设两直线与的方程为16德州学院数学科学学院2016届

8、数学与应用数学专业毕业论文，那么两异面直线与之间的距离计算公式为.⑶图2证明证法一直线由点和向量决定,直线由