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1、深入浅出大道至简——从2015年浙江省学考压轴题谈起余姚中学徐银杰一.试题呈现,立意分析立意分析:该题以绝对值函数为载体,试题背景深刻,体现了浙江命题的一贯风格.二.解法分析,形数相依我们主要讨论第(III)问的解答.1.先给出参考答案:评注:参考答案是结合函数图像分类讨论,这是处理二次函数问题的通法.优点是目标明确,思路清晰,缺点是繁琐、耗时,也无法揭示问题的本质.2.下面我们给出本质的做法.1)形——大胆猜想根据绝对值的几何意义,我们不妨将
2、xaxb
3、看做是两个函数x与axb图像的距离,
4、问题转化为,求抛物线yx上的点到直线yaxb的距离的最大值的最小值.结合图像,我们不难发现,这条直线如图(1)所示.图(1)2)数——小心求证根据“形”的分析猜测,我们自然得到以下解答.评注:数缺形来少直观,形缺数来难入微.有了“形”的启发,我们的解答变得简洁而又严谨,可以说一剑封喉,一步到位.3.其他做法.2I)记t=xÎ=[0,2],()
5、gt-at+tb-=
6、,令Nmax()gttÎ[0,2]Ng³=(0)
7、
8、,-³=bNg(1)
9、1-abNg-³=
10、,(2)
11、24--ab
12、8N³--
13、+--+-³------=
14、24ab
15、4
16、1ab
17、3
18、
19、
20、24bab4(1abb)3
21、2111³Na,,当时==b等号成立.424评注:换元成二次形式,还是熟悉的配方,还是熟悉的味道.2II)记t=xÎ=[0,2],()
22、gt-at+tb-=
23、,令Nmax()gttÎ[0,2]11Ng³=(0)
24、
25、,bNg³=(1)
26、1-abNg-³=
27、,(2)
28、24--³=-abNg
29、,()
30、b
31、24aa评析:你觉182Nggg³+++()(1)(2)2()3g(0)2a11³-+-+
32、2ab
33、
34、2
35、3
36、
37、
38、
39、2bb³³a+
40、222aa111=Na³=,,当成b时等号立.424得对称轴重要,我给你对称轴,还想要什么,你说,我做。三.挖掘本质,背景分析浙江省的命题人喜欢出有高等数学背景的题目作为压轴题,可以说是菲利克斯·克莱因所倡导的“高观点下的初等数学”的积极践行者。事实上,这道学考压轴题的背景就是大名鼎鼎的切比雪夫逼近问题.关于函数的近似有两个互相交叉的课题一方面对于一条曲线给出若干纵坐标求一个简单的表达.,,式,使它在所给点有这些纵坐标。另一方面,想要所求的表达式与所给的数据偏差最小.可以通过以下
41、nn-1方式把这两方面结合起来:用一个次多项式npx()=axax+++axa+代表一条曲线,它nn-110含有nn+11个常数,若已给+个观测数据,我们用拉格朗日插值公式,但已给的数据多于n+1个,我们就用最小二乘法思想:使得所给的误差平方和最小.即:对于给定数据(,)(1,2,,),xyi=Fm在某个函数类()(x一般为多项式函数或三角函数找)px()ÎF()xii0mm22使得åå[()px-=y]min[()px-y]0iiiipx()()ÎFxii==11但是切比雪夫并没有单纯的依赖
42、最小二乘法,他不是要取误差的平方和最小而是最大误差的绝对值最小。切比雪夫最佳一致逼近原理的基本思想是这样的对于给定区:间[,]ab上的连续函数fx(),在所有次n多项式构成的集合中找一个多项式px(),使它在[,]ab上对fx()的偏差相对其他次多项式而言是最佳的.即:n0max
43、()px-=fx()
44、min{max
45、()px-fx()
46、}0axb££axb££切比雪夫不愧是大家不但指出这样,(的多项式px)是存在且是唯一的,而且指出了构造这种最佳一致0逼近多项式的方法.最佳逼近多项式:Hn表示所
47、有次数£的实系数多项式的集合,C[,]ab表示[,]ab上的一切实连续函数的集合.n若pxH()ÎÎ,fx()Cabst[,],.max
48、()pxfx-()
49、infmax
50、()=pxfx-()
51、,nnnnaxb££pHaxbΣ£nn则p()()xfx为的最佳逼近多项式.n切比雪夫定理:pb()()xfx为的最佳逼近多项式的充要条件:()pxfx-()至少在[,]a上np+-2m个点处交错的达到ax
52、(x)f(x)
53、nnnaxb££1特别的:假设px()是次数为n³³1,首项系数为1的实多项式那么
54、:,max
55、()
56、pxn-££11xn2n-1四、类似的题目,模式化的方法题1.(2016学考选择最后一题)2设函数fx()
57、=+axb-
58、,对于任意abRx>Î0,,存在Î[1,2],使得f()xmm³,求的范围.x解答:由题意m£=inf{maxfx{()}},设Nmaxfx{()}abR>Î0,xÎ[1,2]xÎ[1,2]³=+-Nf(1)
59、abNf2
60、,³=+-(2)
61、2ab1
62、³+2
63、Nab-+2
64、
65、2ab+-³+1
66、
67、1a
68、
69、1a+
70、11³N>,即m£224题1.