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1、新课程圆锥曲线教学浅见一、背景——圆锥曲线的地位解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系。于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。在现今的高中数学学习中，圆锥曲线是解析几何的重点内容，特点是：对曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活运用；综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及向量等内容，体现了对各种能力的综合要求。在高考中，圆锥曲线的内容占高考数学试题总分的15﹪左
2、右，选择题、填空题具有一定的灵活性，难度以中档题为主；解答题难度较大，重点是直线与圆锥曲线的位置关系、曲线的方程、关于圆锥曲线的最值问题。圆锥曲线试题既突出了圆锥曲线的本质特征，又体现了传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，试题的背景深刻、载体多样、立意新颖、亮点突出。二、新课程中的圆锥曲线教学新课程中把圆锥曲线列入了选修内容，不过它的地位是恒定不变的。解析几何是用代数的方法解决几何问题。用数研究形是数形结合的一方面，而数与形两方面的综合应用才是解决解析几何问题的捷径。在教学中尤其要注意培养学生这方面的能力
3、。三、圆锥曲线例题浅析xyMFPNO图1第一题：如图1所示，点F(a,0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且·=0，=，（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F(a,0)的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K(–a,0),与的夹角为，求证：0＜＜.（I）解：由相关点法求N的轨迹：7设点N（x,y）,M（m,0）,P（0,n），m,n,（II）证法一：由坐标法解决直线与圆锥曲线的相交问题：由于直线l不与x轴垂直，故直线l的斜率存在并设为k，则直线l的方程为：y=k(x-a),
4、设点,则图2xyKFBAOQ’B’A’QD在第（II）问中我们可以结合抛物线的定义应用平面几何知识来证明：证法二：7由已知我们知道AB是抛物线y2=2ax(a>0)的焦点弦，如图2所示：设AB中点为Q，以点Q为圆心，AB为直径作圆，分别过点A、B、Q向抛物线的准线x=-a作垂线，垂足分别为A’、B’、Q’,在梯形AA’B’B中，QQ’=,又由抛物线定义知AA‘=AQ,BB’=BQ,QQ‘=,半径QQ‘与准线垂直，圆Q与抛物线的准线相切，切点为Q，，直线l不与x轴垂直，点Q与点F不重合，点Q‘与点K不重合，点K
5、在圆Q外，设线段AK与圆Q交于点D，则显然，.评析：第（II）问证法一运用代数的思想方法，利用坐标法和函数与方程的思想方法，应用韦达定理和向量的数量积求出夹角的范围，计算量大，且需要算出这步之后结论才明晰；证法二结合抛物线的定义，利用直径所对的圆周角为900及三角形的外角大于不相邻的内角的定理，即可直观地得出结论，充分显示了数形结合中形的直观的特点，又避免了大量的计算。第二题：已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件
6、PM
7、－
8、PN
9、=，记动点P的轨迹为W，（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不
10、同两点，O是坐标原点，求·的最小值.解：（Ⅰ）7依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，半焦距c=2,实半轴长a=故虚半轴长故所求方程为：（x>0）.（Ⅱ）解法一：当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），B（x0，－），＝2;当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0,（*）依题意可知方程（*）有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则解得
11、k
12、>1,又＝x1x2＋y1y2
13、＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2,综上可述，的最小值为2.评析：第（Ⅱ）问证法一解答过程中运用了代数的思想方法,应用分类讨论的思想，利用坐标法和函数与方程的思想方法，并由韦达定理和向量的数量积解决问题，依然对计算能力提出了很高的要求，且讨论斜率k是否存在也是学生容易忽视的步骤。下面我们从向量数量积的几何意义出发，结合导数的几何意义解决题目。（Ⅱ）解法二：已知W:x2-y2=2(x>0)，设C:y2-x2=2(y>0)，已知点A(x1,y1),B(x
14、2,y2)在曲线W上，则B’(-y2,x2)在曲线C上，如图5所示，则，7OB'xyAB图5评析：本题第（Ⅱ）问解法二并不容易想到，在此提出的目的是为了让大家了解这道解析几何问题所需要解决的几何意义到底是什么。此题第二问题干是以代数方式提出的，而我们知道解析几何的本质是用代数的方法解决几何问题，故在解法二中我们诠释了它的一个几何意义。其中难点有两个：一个是寻找的几何意义，为什么它会有最小值。这主要是
