代数几何相转化相映成辉是一家

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1、２０１８年第５７卷第６期数学通报５５代数几何相转化相映成辉是一家———对一道高考圆锥曲线问题的变式探究范方兵１２王芝平（１．北京市第二中学１０００１０２．北京宏志中学１０００１３）２（－∞，－３）∪（－３，０）∪（０，１）．试题再现：已知抛物线Ｃ：ｙ＝２ｐｘ经过点Ｐ（１，２）．过点Ｑ（０，１）的直线ｌ与抛物线Ｃ有两个ｙ＝ｋｘ＋１，（Ⅱ）解法一由消去ｘ，不同的交点Ａ，Ｂ，且直线ＰＡ交ｙ轴于Ｍ，直线２｛ｙ＝４ｘ，整理得ｋｙ２ＰＢ交ｙ轴于Ｎ．－４ｙ＋４＝０．（Ⅰ）求直线ｌ的斜率的取值范围；设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），（Ⅱ）设Ｏ为原点ＱＭ→＝λＱＯ→，ＱＮ→＝μＱＯ→

2、，求４烄ｙ１＋ｙ２＝，ｋ１１则证：＋为定值．烅λμ４ｙ１ｙ２＝．这是２０１８年高考北京卷理科的第１９题，在烆ｋｙ１－２全卷中处于倒数第二题的位置，题目设计新颖，背直线ＰＡ的斜率ｋＰＡ＝，ｘ１－１景深刻，难度适中，以抛物线为载体考查直线与圆ｙ１－２锥曲线的位置关系，考查解析几何的坐标化思想、直线ＰＡ的方程为ｙ－２＝（ｘ－１），ｘ１－１数形结合、化归转化思想以及数学运算、逻辑推理ｙ１－２２ｘ１－ｙ１令ｘ＝０，得ｙ＝２－＝，等核心素养，是一道值得细细品味的好题．现将本ｘ１－１ｘ１－１２题的解答及分析过程整理如下，希望得到同行的ｙ１２ｙ１２ｙ１将ｘ１＝代入整理得ｙ＝，则Ｍ０，．指教．４ｙ１＋２

3、（ｙ１＋２）１试题解法变式研究于是ＱＭ→＝０，ｙ１－２，（ｙ１＋２）解（Ⅰ）由题意，Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ经过点Ｐ（１，→→→由ＱＯ＝（０，－１）以及ＱＭ＝λＱＯ，２２２），所以２＝２ｐ×１，所以２ｐ＝４，抛物线Ｃ：ｙ２－ｙ１２－ｙ２＝４ｘ．知λ＝，同理μ＝．２＋ｙ１２＋ｙ２易知直线ｌ的斜率存在，设其方程为ｙ＝ｋｘ１１２＋ｙ１２＋ｙ２４４２＋＝＋＝－２＋＋＋１（ｋ≠０），与抛物线Ｃ：ｙ＝４ｘ联立得：λμ２－ｙ１２－ｙ２２－ｙ１２－ｙ２２２ｋｘ＋（２ｋ－４）ｘ＋１４－（ｙ１＋ｙ２）＝－２＋４×４－２（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１ｙ２＝０，４由题意有，ｋ≠０且Δ＝１６４－ｋ－１６ｋ＞０，得

4、ｋ＜１且ｋ＝－２＋４×８４＝２．４－＋≠０．ｋｋ如图１，ＰＢ与ｙ轴有交解法二设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｍ（０，点，故点Ｂ不能是点ＰｙＭ），Ｎ（０，ｙＮ），２…（１）（１，２）关于ｘ轴的对称烄ｙ１＝４ｘ１于是点（１，－２），故ｋ≠－３．烅ｙ２…（２）烆２＝４ｘ２→→所以ｋ的取值范围为图１ＱＡ＝（ｘ１，ｙ１－１），ＱＢ＝（ｘ２，ｙ２－１），５６数学通报２０１８年第５７卷第６期由Ｑ，Ａ，Ｂ三点共线知ｘ１（ｙ２－１）＝ｘ２（ｙ１－１），切线（切点分别为Ｏ，Ｐ）和一条“割线”，ＰＡ，ＰＢ２２是过其中一个切点的两条直线（这两条直线分别ｙ１ｙ２将ｘ１＝，ｘ２＝代入，４４过“割线”

5、与抛物线的交点），Ｍ，Ｎ是这两条直线整理得ｙ１ｙ２＝ｙ１＋ｙ２…（３）与另一条切线的交点（如图２），那么对于满足→→ＰＡ＝（ｘ１－１，ｙ１－２），ＰＭ＝（－１，ｙＭ－２），→→→→１１ＱＭ＝λＱＯ，ＱＮ＝μＱＯ的λ，μ，＋＝２总成由Ｐ，Ａ，Ｍ三点共线知λμ（ｘ）（ｙ）＝－（ｙ），立．我们自然要问，如果改变点Ｑ的位置，并进一１－１Ｍ－２１－２步将抛物线改成椭圆、双曲线等，结论还成立吗？２－ｙ１２ｙ１得ｙＭ＝２＋＝．ｘ１－１２＋ｙ１→→→２－ｙ１，由ＱＯ＝（０，－１）以及ＱＭ＝λＱＯ知λ＝２＋ｙ１２－ｙ２同理μ＝．２＋ｙ２１１２＋ｙ１２＋ｙ２＋＝＋λμ２

6、－ｙ１２－ｙ２４－（ｙ１＋ｙ２）图２图３＝－２＋４×，４－２（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１ｙ２猜想如图３，点Ｑ是圆锥曲线Γ“外部”任１１将（３）代入整理得＋＝２．意一点，过点Ｑ分别引圆锥曲线Γ的两条切线λμＱＰ，ＱＲ（切点分别为Ｐ，Ｒ），过Ｑ引一条圆锥曲２２ｙ１ｙ２解法三设Ａ（，ｙ１），Ｂ（，ｙ２）（ｙ１≠ｙ２），线Γ的“割线”，与其交于Ａ，Ｂ两点，过切点Ｐ的４４两条直线ＰＡ，ＰＢ与另一条切线ＱＲ交于Ｍ，Ｎ，ｙ２－１ｙ１－１由Ｑ，Ａ，Ｂ三点共线，有２＝２，那么对于满足→→→→ｙ２ｙ１ＱＭ＝λＱＲ，ＱＮ＝μＱＲ的λ，μ，总４４１１有＋＝２．整理得ｙ１ｙ２＝ｙ１＋ｙ２．λμｙ１－２实

7、际上，本文所探讨的题目以及猜想，与由Ｐ（１，２），则ｌＡＰ：ｙ－２＝２（ｘ－１），ｙ１２００８年高考安徽卷理科数学第２２题有着内在联－１４系，其几何背景涉及到高等几何中的极点、极线以４令ｘ＝０得ｙＭ＝２－，及调和点列的知识，现逐步来进行说明（关于极ｙ１＋２点、极线的知识，限于篇幅暂不做深入探讨）．ｙ２－２同理，ｌＢＰ：ｙ－２＝２（ｘ－１），（２００８年高考安徽卷理科第２２题）设椭圆Ｃ：ｙ２－１２２４ｘｙ２＋２＝１（ａ＞ｂ＞０）过点Ｍ（槡２，１）