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1、一维势垒——一维散射中的几率密度摘要:利用数值计算方法研究了粒子在一维“方形”势垒中运动时的粒子的几率分布,并给出了几率密度图.从这些图我们可以清楚的看出不同能量的粒子在“方形”势垒散射时的几率分布情况,并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.关键词:几率密度;势垒几率密度;阶梯势;势垒;几率密度阶梯势;势垒;几率密度;阶梯势;势垒One-dimensionalsquarepotentials—One-dimensionalsquarepotentialsABSTRACT:Inthispaper,weoutlinethequanti
2、tativecalculationofthestationarystatesoftheparticle.Welimitourselvestoone-dimensionalmodels.Weshallgivetheresultsofthiscalculationforacertainnumberofsimplecases,anddiscusstheirphysicalimplications.Westudythemotionofaparticleina“squarepotential”whoserapidspatialvariationf
3、orcertainvaluesofintroducepurelyquantumeffects.Weconsiderthequantummechanicsofaparticlewhichencountersthepotentialstepwithand.Wenextstudymorecomplicatedpotentialform,therectangularpotentialbarrier.Wedrawasafunctionofbynumericalcalculation.Fromthisfigure,wecanseeclearlyan
4、importantdifferencebetweenclassicalmechanicsandquantummechanics.KEYWORDS：Probabilitydensity;Potentialsteps;Potentialbarriers;Classicalmechanics;Quantummechanics目录引言11势垒模型与量子力学方程21.1势垒模型21.1.1势垒模型21.1.1.1势垒模型21.2量子力学方程与边界条件32阶梯势垒散射52.1模型与方程52.2的情况62.3的情况82.4的情况93方形势垒散射123
5、.1模型与方程123.2情况123.3情况153.4情况16总结17致谢17注释17参考文献17附录19引言图0.1粒子穿越势垒时的波动图像一维势垒散射问题属于量子力学非束缚定态的基本问题,几乎所有的量子力学著作中均作为主要内容加以阐述[1-5].对该问题深入讨论可以初步掌握经典力学与量子力学所给出的粒子的穿越势垒的不同行为的基本特征.但是大部分都是着重描述粒子在势垒存在时的穿过势垒的透射系数或被势垒反射回来的反射系数,而对于势垒存在时微观粒子的几率分布的情况却描述较少,由其对于势垒中粒子的几率分布情况更是很少涉及.并且一些书中[1-2
6、]给出粒子穿越势垒时的波动图像存在问题(如图0.1).因为对于非束缚定态问题粒子的波函数是复函数,一般情况下很难在二维图像中表示.如果说这里给出的是粒子的几率分布图像,那么由于穿过势垒后波函数一般形式是,所以几率分布显然应该是一常数,并不存在任何的波动.为了能够对粒子在穿越势垒时的几率分布有一个清晰的认识,我们分别对粒子穿越阶梯形势垒和方形势垒的不同情况下的几率分布通过计算机数值计算给出了相应的几率密度图像.本文讨论的阶梯势垒与方形势垒由于模型简单,数学计算相对容易而使得物理图像清晰,对于深入理解粒子穿越势垒时的物理图像有一深刻正确的了
7、解可以起到一定的作用.1势垒模型与量子力学方程1.1势垒模型1.1.1势垒模型1.1.1.1势垒模型如果空间中有两个区域,并且在这两个区域内粒子的势能都比它在这两个区域的分界面上的势能小,我们就说,这两个区域是由一个势垒分隔开的.图1.1一维势垒图1.1所示的一维势垒可以作为一维势垒最简单的例子.纵轴上标出势能,它是粒子的坐标的函数.在点上势能具有极大值.整个空间在这一点上分为两个区域:和,在这两个区域内.如果我们根据经典力学来考察粒子在场中的运动,我们马上可以说明“势垒”的意义.粒子的总能量等于(1.1)式中为粒子的动量,为它的质量.
8、从(1.1)解出动量.我们得到(1.2)上式中的符号应该根据粒子的运动方向来选择.如果粒子的能量大于势垒的“高度”,则当粒子的初始动量时,粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒;而当粒子的初始动量时,粒子通
