正态分布性质研究

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1、正态分布性质正态分布定义：若随机变量X服从一个位置参数为》、尺度参数为0•的概率分布，且其概率密度函数为F（x）洛exp则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作X小（2A读作j（服从或x服从正态分布。正态分布可以写成H然指数分布族分布形式2F“；明扬exp二扬exp2。22。2=—^exp(一§)exp(-^x-ay[2nr2a2rct22a2其中0=斗，cp(0)=£,h(x)=^^exp(一二)a2十2a2a42nr2a2则正态分布族属于自然指数分布族。2-)dx正态分布数字特征（1）正态分布的期望:E(X)二广°°X

2、*£exp(-竺孚丿一8aV27T厂2a2=^f-"(卩+毗)e-Tdt=

3、i-^=j+8e~dt+-^=j+8te~dtnV27?J-ooV27TJ-oo二口(2)I)(X)二厂：(％—“)2f(x)dx引二(咒-“)2f(x)dxO-心沽exp令二二t,得a2t2D(X)喘空舄-站2t2喘([-%F]援+r■:厂dt)2=o+-；=V27FV27T2（—土斗）dx2。2t2正态分布的图形性质(1)O变换：正态分布有两个参数，即均值U和标准差6可记作N(U,0):均值U决定正态曲线的小心位置，标准差CJ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。若卩固定，而改变O的值，

4、则当X二卩时，f(X)二诺^由此可知,(2)u变换：为了便于描述和应用，常将止态变量做数据转换。卩是正态分布的位置参数，描述止态分布的集中趋势位置。止态分布以x二卩为对称轴，左右完全对称。当。恒定后，而改变□的值，则f(x)的图形沿x平行移动，但不改变其形状。u越大，则曲线沿横轴向右移动；反Z,u越小，则曲线沿横轴向左移动。止态分布的均数、中位数、众数相同，均等于Uo止态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降瓦X)(3)曲线y二f(x)在x二卩+。处有拐点且曲线y二f(x)以OX轴为渐近线，无限逼近。(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积始终

5、为仁3。原则：P(p-o

6、j-2a

7、j-3o-y)=l-O(-y)二1-[1-①(y)]=①(y)故Y~N(O,1)(2)设随机变量x、N(u,a2),当bHO时有Y=a+bx"N(a+bu,&2a2)证明

8、：令z二—:严)当b>0时，z二廿竺如丝mboa故Z~N(O,1),从而Y〜N(a+bu,b%2)当b〈0时，Z严—严)-boa根据性质(1),因为—N(0,1),所以Z〜N(0,1)a贝iJY~N(a+bu，沪/)（3）X~N（“i，,占），Y~N（“2,,於），且X与Y相互独立，则Z二X+Y~N（“i+“2,打+於）证明：X+Y=（72（X+“1+“2”2”2X~N（T）则Y=aX+b~N（b+au,a2a2）由此可推出耳〜N（0,4）,—^N（0,1）所以i+d、N（O,1+4）X+Y~N

9、>2*0+“1+“2,於（1+乌）］二N（“1+门2启+於）a

10、2标准正态分布，图形性质的集中性均匀变动性等