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1、平面几何中的几个典型问题一、共圆点问题f四点共圆在同一圆周上的若干个点称为共圆点，或称这些点共圆•共圆点问题一般都转化为四••••••点共圆问题•在数学竞赛中，不仅出现单纯的证明点共圆的问题，还常常以点共圆问题(尤其是四点共圆)作为基础，解决其它比较复杂的问题.或ZD-ZABC180»DPAPB=PCPDZAI)B=ZACBPAPB=PC・PD证明四点共圆的基本方法：(1)利用圆的定义一一到同一个定点的距离相等；(2)利用圆内接四边形性质定理的逆定理——对角互补或外角等于它的内对角；(3)利用圆周角定理的逆定理一一线段的同侧张角相等;(4)利用圆幕定理的逆定理一一相交弦、
2、切割线；(5)利用托勒米定理的逆定理或西姆松定理的逆定理.K例口在锐角三角形ABC中，以BC为直径作圆与BC边上的高AD及其延长线交于M、N,以AB为直径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P、Q,求证：M、N、P、Q四点共圆.(美国1990)【分析1】1、N、P、Q四点共圆・IIN二IIP・IIQM、E、N、C四点共圆~HI・HN=HE・HCP、A、Q、D四点共圆HP・HQ二HA・HDZADC=ZAEC=90°->HE・HC二HA・HD・・・HM•HN二HP・HQ.・・・M、N、P、Q四点共圆.【分析2】M、N关于BC对称过M、N的圆的圆心必在BC上,同理，过P、Q
3、的圆的圆心必在AB上，从而B是其圆心，故只需证M、N、P、Q到B的距离都相等.连MB、MC,则ZBMC=90°,又MD丄BC-*BM=DB・BC同理，BP=BE・BA,故只需证BD・BC=BE・BA,即证A、E、D、C四点共圆.【分析3】M、N、1Q四点共圆-HM・HN二HP・HQ.连BK,则BK丄AK,BK丄CK,・・・A、K、C共线，・・・K在AC上，・・・BK丄AC,BK必过点H(H是/ABC的垂心),于是,HM«N=HB4IK,IIP・BQ=HB-UK,・・・IIM・HN二IIP・IIQ..・.M、N、P、Q四点共圆.二、共线点问题〜三点共线在同一条直线上的若干
4、个点称为共线点，或称这些点共线•共线点问题一般都转化为•・••••三点共线问题.A>IkC共线的充要条件sin(a+p)_sina十sin卩PBPCPA证明三点共线的基本方法：BACZBAD-ZDAC=18O«tBCD共线n厶—D⑴利用“邻角互补”或对顶角定理的逆定理M/ZBCM^ZDCXKMCX共线tBCD共线(2)利用同一法;(3)利用特殊点、线的性质一一如西姆松线；(4)利用梅内劳斯定理的逆定理.；(5)利用张角关系定理——由P点出发的三条射线PA、PB、PC,ZAPB=a,ZBPC=P,ZAPC=a+P<180°.则A、B、C共线的充要条件是竺竺±0二竺仝+竺0.
5、PBPCPAK例2』设不过平行四边形ABCD顶点的任意一条直线分别与直线AB、BC、CD、DA交于E、F、G、H,则圆EFC与圆GIIC的另一个交点Q必在定直线上.【分析】事实上，Q点在定直线AC±,即证A、C、Q共线.连AQ、CQ、EQ、HQ,往证ZEQA-ZEQC,E、F、C、Q共圆一ZEQC二ZGFC,G、H、Q、C共圆->ZHQC=ZFGC,ZGFC+ZFGC+ZFCG二180°-ZEQC+ZIIQC+ZGFC二180",VZBAD=ZFCG,AZEQH+ZEAH=180°-*A>E、Q、H共圆ZEQA二ZEHA,而AH〃BC->ZGFC二ZEHA-ZEQA二ZE
6、QC-A、C、Q共线，即Q必在定直线AC上.三、共点线问题f三线共点通过同一点的若干条直线称为共点线，或称这些直线共点.共点线问题一般都转化为三线共点问题.证明三线共点的基本方法：(1)证明三条直线通过某个特殊点；(2)证明某条直线通过另两条直线的交点；(3)转化为三点共线证明；(4)利用塞瓦定理的逆定理或西姆松定理.K例3』ZABC为锐角三角形，AD丄BC于D,以AD为直径作圆Sa,圆Sa分别交边AB、AC'■■■■E于M、N.过A作直线□垂直于MN,类似地作出Lb、Lc・证明:La、Lb、【分析1】(直观上看，可以过ZABC的外接圆的圆心0)设法证它们过某一点，设5交
7、/ABC外接圆于另一点E,交MN于F,连DM,则ZADM=ZANM,AD是圆AMN的直径一ZAMD=90°,AE丄MN-ZAFN二90°,.ZBAD=ZEAC,又ZABD=ZAEC,AZACE=ZADB=90°,・・・AE是圆ABC的直径，即1川过ZABC的外接圆的圆心0,同理，Lb、Lc也过/ABC的外接圆的圆心0,・・・♦、Lb、Lc共点.【分析2】设La交/ABC外接圆于另一点E・连DM、DN,过A作圆ABC的切线AT,则ZTAC=ZABC,AD丄BC-*ZADM=ZABC=ZAXM,TZAMD二ZAND二90°,二Z
