含参量积分的分析性质及其应用

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1、含参量积分的分析性质及其应用班级：门数学与应用数学一班成绩：日期：2012年门月5日含参量积分的分析性质及其应用1.含参量正常积分的分析性质及应用含参量正常积分的连续性定理1若二元函数f(x,y)在矩形区域/?=S,b]x

2、c,d]上连续，则函数°(兀)二f/(x,y)dy在[a,b]上连续.例1设/(x,y)=sgn(x-y)(这个函数在x二y吋不连续)，试证由含量积分F(y)=[/(x,y)cbc所确定的函数在(+°°-°°)上连续.解因为00,则sgn(x-y)=l,即f(x,y)=l.x

3、(x,y)二y°，x二y,J,x>y则F(y)=()'{-V)clx+J*=1-2y.厂1,y<0当y>l时，f(x,y)二T,则F(y)=](-1)〃兀=一1,即F(x)Xl~2y,0i又因lim=1=F(O),limF(y)=-1=F(1).F(y)在y=0与y=l处均连续，因而F(y).vtO)T在(-oo,+oo)上连续.例2求下列极限：(1)limf1y)x2+a2dx；(2)limPx2cosaxdx.qtoJ-iqtoJo解(1)因为二元函数在矩形域R二[T,l]x[T.1]上连续，则由连续性定理得在卜1,i］上连续.则lim「Vx2--

4、a2dx=f*limVx2--a2dx=「}dx=1.gtOJ-lJ-lqtOJ-i1(2)因为二元函数X2cos^zx在矩形域7?=［O,2］x［--,-］上连续，由连续22性定理得，函数cosaxdx在［-y,y］上连续.则limx2coscixclx二=#.例3研究函数F(x)=fyf{Xdx的连续性，其中f(x)在闭区间［0,1］上是Jo兀2+y2正的连续函数.解对任意儿>0,取》〉0,使儿-力〉0,于是被积函数申里在x+R二［0,l］x［y°-力,儿+力］上连续,根据含参量正常积分的连续性定理，则F(y)在区间［儿-力,儿+引上连续，由儿的任意性知，F(

5、y)在(0,+oo)上连续.又因F(_y)=「“(％=—f孑巴dx，贝ijF(y)在(一oo,0)上连续•当y二0处JoJC+)厂JoJC+厂尸()))=0・由于/(X)为［0,1］上的正值连续函数,则存在最小值m>0.心=1：淄张-T：号〃=marctanp从而鹦◎号儿但F(y)在y二0处不连续，所以F(y)在(-汽+呵U(0,+oo)上连续，在y二0处不连续.定理2设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)

6、c(x)

7、.•fi+Qdx例4求忸］仁吋解记芈——•由于Z1+Z7都是Q和X的连续函数,Ja1+JC+6T1+JC+CT由定理2知1(a)在a=0处连续，所以lim1(a)=/(0)=「一^=仝・©to」°1十q4JI—OQe-(x'yrdx在(-oo,+oo)±连续.0证明对Vjg(-汽+oo),令x-y=t,可推得F(y)=f严-卅dx=「訂dt=f/dt+fFdt=f/力+^•对于含多量正常积分化"力，由连续性定理可得^e~t2dt在(-oo,+oo)±连续，则J_yJ—yF(y)=广e~(x~y)2dx在(-oo,+oo)上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3若函数f(

8、兀,y)与其偏导数f(x,y)都在矩形区域R二［a,b］*［c,d］dx上连续，则(p(x)=^f(x,y)dy在［a,b］上可微，且C/(x,y)dy=y)dy・JcdxJcJcdx定理4设f(x,y),fx(x,y)在R二［a,b］*［p,q］上连续,c(x),d(x)为定义在［a,b］上其值含于［p,q］內的可微函数，则函数F(x)=［J(A)/(x,y)dy在［且,b］上可微,Jc(x)且F(x)=JfK(x,y)dy+f(x,d(x))d(x)一.f(x,c(x))c(x).Jc(x)定理5若函数f(x,y)及人(兀,y)都在［a,b;c,d］上连续，同时在［c

9、,d］上Q(y)及b(y)皆存在，并且aWa(y)Wb,aWb(y)Wb(cWyWd),则Idr^(v)■"(y)..F(^)=—£(v)/(X,y)dx=£(fy(x,y)dx+f[b(yy]b(y)-f[a(yy]a(y)・证明考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数，由于F(y)=C(兀忙+1：；：fay皿-[：：：/(兀,y皿二人(刃+“°)一坊O)•现在分别考虑耳0)(21,2,3)在点儿处得导数由定理5可得F；(y())=J：；工(x,yQ)dx.由于尸2(儿)=°，所以町(儿)=lim耳⑴一厲(儿)=恤