美式期权定价的一种快速算法

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1、目目目录录录摘摘摘要要要iABSTRACTii目录iv第一章绪论1第二章无限区域上的热传导方程的人工边界问题4第三章线方法93.1方法介绍................................93.2算法描述................................9第四章线方法在人工边界上的应用13参考文献22致谢25iv万方数据上海交通大学硕士学位论文第一章绪论第第第一一一章章章绪绪绪论论论期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。期

2、权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，使期权交易的核心问题。70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。国际衍生品金融市场的形成发展过成中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的20年中，投资者通过运用Black-Scholes期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定

3、价模型由FisherBlack和MyronScholes创立并于1973年公之于世。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其他有关期权的有用结论。默顿扩展了原模型的内涵，是指同样运用于许多其他形式的金融交易。瑞士皇家科学协会赞誉他们在期权定价方面的研究成果是25年经济科学中的最杰出贡献。1979年，Cox、Ross和Rubinsetein的论文期权定价:一种简化方法提出了二项式模型，该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题B-S模型的5个重要的假设(1)金融资产收益服从对数正态分布

4、；(2)标的资产回报的波动率是常数；(3)忽略交易费；(4)金融资产在期权有效期内无红利及其他所得；(5)无风险利率是常数。股价S遵循几何维纳过程：dS=µSdt+σSdz其离散形式为：1万方数据上海交通大学硕士学位论文第一章绪论∆S=µS∆t+σS∆z(11)又假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则变量f一定是S和t的函数，由Ito引理可得：∂f∂f1∂2f∂fdf=(µS++)dt+σSdz∂S∂t2∂S2σ2S2∂S其离散形式为：∂f∂f1∂2f∂f∆f=(µS++)∆t+σS∆z(12)∂S∂

5、t2∂S2σ2S2∂S由于f必定是S和t的函数，所以方程(2.8)与方程(2.9)遵循的维纳过程相同，√即∆z(=ϵ(∆t))相同。所以我们可以选择该股票和衍生证券组合来消除维纳过程。∂f我们构造这样的投资组合：(1)卖出一份衍生证券(2)买入份股票∂S则该证券组合的价值为：∂fΠ=f+S(13)partialS经过∆t时间后，该证券组合的价值变化：∂f∆Π=∆f+∆S∂S将方程(2.1)和方程(2.9)代入上式，得：∂f1∂2f22∆Π=(σS)∆t(14)∂t2∂S2因为这个方程不含有∆

6、z,经过∆t时间后证券组合必定没有风险。因此，该证券组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券的收益率相同，否则，将存在无风险的套利机会。所以：∆ΠfΠ∆t其中r为无风险利率。2万方数据上海交通大学硕士学位论文第一章绪论将方程(2.3)和(2.4)代入上式可得：∂f1∂2f∂f22(+σS)∆t=r(fS)∆t∂t2∂S2∂S化简得：∂f∂f1∂2f22+rS+σS=rf(15)∂t∂S2∂S2这就是著名的Black-Scholes微分方程。对应于基础证券S定义的不同衍生证券，方程(2.5)有不同

7、的解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。对于欧式看涨期权，关键的边界条件为：f=max(STX,0)对于欧式看跌期权，边界条件为：f=max(XST,0)一个非常重要的现象是，从方程(2.5)我们可以发现，它不包含投资者对股票的预期收益µ，从而它独立于风险偏好。我们可以提出一个非常简单的假设：所有的投资者都是风险中性的，这样所有证券的预期收益率都是无风险利率r,且其衍生证券的目前价值可以用其期末价值的期望值以无风险利率r来贴现得到。这就是风险中性定价原理：既在市场不存在任何套利可

8、能性的条件下，如果衍生证券的价格仍然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。可以证明，市场无套利且仅当存在风险中性概率测度。3万方数据上海交通大学硕士学位论文第二章无限区域上的热传导方程的人工边界问题第第第二二二章章章无无无限限限区区区域域域上上上的的的热热热传传传导导导方方方程程程的的的人人人工工工边边边界界界问问问题题题考虑无界域上的热传导问题。这种问题来自热传导、金融、流体力学或者其他应用数学领域。解决这类问题的一种数值方法是用