起主导作用特殊情形注释与实践

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1、起主导作用特殊情形注释与实践摘要：波利亚在其名著《数学与猜想一一数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述，其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻。关键词：主导；数学中图分类号:G632文献标识码：B文章编号:1002-7661(2014)03-260-01波利亚在其名著《数学与猜想一一数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述，其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻，且在解题中屡试不爽，现将这一思想介绍给大家，并提供两个实例，与诸位共享。一、引文一一波利亚对“起主导作用的特殊情形”的注释多边形面积

2、为，其所在平面与另一个平面的交角是，求这多边形在另一平面上正投影的面积.由于没有指定多边形的形状，但是有无穷的各种各样可能的形状，应该首先讨论哪种形状呢？有一种形状讨论起来特别方便：底边平行于两个平面的交线的矩形，设这种矩形的底是，高是，其面积为，其投影长度分别是，投影面积是•故若多边形面积是，则投影面积是・底边平行于的矩形不仅是特别容易处理的特殊情形,而且又是一种有主导作用的特殊情形，主导特例的解包含了一般问题的解•故由此可以推广到直角边平行于的直角三角形（用对角线平分上述矩形）；再推广到一种平行于的三角形（由上述两个直角三角形组成）；最后推广到一般多

3、边形（可以分解为前述许多三角形），甚至我们还可以推广到曲边形（看作多边形的极限）二•例证一一对“起主导作用的特殊情形”的实践例1:已知圆，直线过定点・若与圆相交于两点,线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.评析：首先看下面的解法：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为・这一解法可谓中规中矩，但思维含量少，缺乏创意，使这道独具匠心的试题趋于平淡•看下面的分析：⑴考察起主导作用的特殊情形（如右图）：直线经过圆的圆心，此时的中点与圆心重合，且的直线方程为:以过圆心C的直线作为“起主导作用的特殊情形”,虽

4、浅显自然，但直击本质，抓住了问题的主要矛盾，为思维的进一步展开奠定了基础；接着分别构造两个直角三角形，将一般情形巧妙地化归为特殊情形，凸现出特殊情形的主导地位，而其中结论"”的发现是关键，是一个平淡中见神奇的亮点，也正是本题最精致的地方，真可谓意境深远！“起主导作用的特殊情形”有时并不能完整得出问题的解答，而仅仅从一个侧面起到制约和导向作用，为思维的顺利展开提供一个方向，成为整个问题的一个依托点。参考文献：[1]波利亚•数学与猜想——数学中的归纳和类比•北京.科学出版社.2001.