微积分知识在生活中应用

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1、微积分知识在生活中应用摘要：围绕中值定理、函数的连续性、微分概念、重要极限、夹逼准则、弹性、拐点、极值等有关知识，探讨微积分知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示微积分与实际生活的密切联系，为应用微积分知识解决实际问题，建立数学模型，奠定了一定的理论基础。关键词：微积分；生活；应用中图分类号：C93文献标志码：A文章编号：1673-291X(2013)30-0235-02一、中值定理在生活中的应用［问题］如果你驾车在一条限速为100公里/小时的公路上行驶，监控仪证明你在半个小时内跑了60公里，那么警察会给你开一张超速罚单吗？

2、［预备知识］拉格朗日中值定理：在闭区间［a,b］上连续；在开区间(a,b)内可导。结论：在(a,b)内至少存在一点2(a100公里/小时，也就是超速了。二、函数连续性在生活中的应用［问题］人的相貌在一分钟内看不出有什么区别，但从孩童到老年相貌却差异很大，怎么解释这一现象呢？［预备知识］设函数f(x)在(x0)内有定义，如果当自变量的增量Ax趋向于零时，对应于函数的增量Ay也趋向于零，即△y=0。［应用］人的生长是连续的，在一分钟内也就是自变量的改变很小时，人的相貌也就是函数的改变量也会很小。客观世界的许多现象和事物不仅是运动

3、变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性。三、微分概念在生活中的应用［问题］地球形状明明是圆的，为什么古时候的人们以为地球是方的？［预备知识］如果函数z二f(x,y)在点(x,y)的全增量△z二f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)可以表示为Az=AAx+BAy+o(P),其中A,B不依赖于Ax,Ay而仅与x,y有关，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的

4、全微分，记为dz,dz=A△x+B△yo［应用］根据全微分定义，有Az^dz即△zafx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay,即全微分的几何意义是：微分是实现增量线性化的一种数学模型，即微分函数的实质：局部像个平面。当可微函数的自变量改变很小时，函数增量可以近似看作一个二维线性函数一一平面。所以古时候在人的肉眼范围内(自变量改变很小)，人们认为函数的增量地球表面是平的。四、重要极限在生活中的应用［问题］要洗一件衣服，先用水和洗涤剂把衣服洗涤，拧一下，然后再把衣服漂清。由于不能拧得干干净净，衣服上仍带有含污物的的水。设衣服上残存

5、的污物量为mO(包括洗涤剂)，残存水量为w,我们还有一桶清水，水量为A。问怎样合理地使用这一桶清水，尽可能地把衣服洗干净？还有衣服能彻底洗干净吗？［预备知识］重要极限：l+x=e［应用］假设把一桶水分成n次使用，每次用量分别为al,a2,•••an,用mi(i=0,1,2,…n)表示第i次洗涤后衣服上残留的污物量。那么二，则n次洗涤后衣服上残存的污物量为mn二,由于mnW｛［(1+)+(1+)+•••+(1+)］｝n=(1+)n,因此把水量等分，可以使污物的残余量最少，而且分的次数越多，洗的越干净。但残留物不会完全没有，因为

6、利用重要极限(1+)n=e,即n趋于无穷大时，污物量趋于e。五、极限夹逼准则在生活中的应用［问题］同学们在上完最后一节课后，肚子饿得直响，迫不及待地冲出教室飞奔食堂，以为可以抢先打到饭，没想到已排上了长队，自己也就只好排在后面，但后来的同学越来越多，为什么不用思考还有多远轮到自己打饭，就被前后的同学“挟持”到了师傅跟前。［预备知识］（夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件：（1）ynWxnWzn（n=l,2,3…）；（2）yn=a,zn=a那末数列xn的极限存在，且xn=ao［应用］先在黑板上画两条与轴线垂直的直线

7、，代表两个垂直于黑板平面的平面，从左到右分别记yn,zn,假设有一点a固定，yn,zn都向a无限接近，那么在yn,zn之间任意位置放入一平面xn,它都会被迫向a趋近，这就是形象的夹逼定理。其中xn就是某同学自己，排在其前后的同学就是yn和zn,打饭的师傅就是确定的a。六、弹性在生活中的应用［问题］商场定期推出打折让利活动，那么最终获利的是谁呢？高档奢侈品价格越来越高，商家是怎么想的呢？［预备知识］设函数y=f（x）可导，函数的相对改变量二与自变量的相对改变量之比，称为函数f（x）在x与x+AX两点间的弹性（或相对变化率）。而

8、极限称为函数f（x）在点X处的弹性（或相对变化率），记为f（x）o［应用］函数f（X）在点X的弹性反映随X的变化f（X）变化幅度的大小，即f（X）对X变化反应的强烈程度或灵敏度。商场里的大众商品富于弹性，降价能极大地促进销售量,进而总利润增加；而奢侈品缺乏弹性，提高价钱对销售量影响不大，故