浅议中学数学教学中二次函数奥义

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1、浅议中学数学教学中二次函数奥义在初中新课标的九年级下册第二章教材中，对二次函数作了较详细的研究，但学生对这部分的内容学习都是机械的，又受其接受能力的限制，没有深入地研究一元二次函数的性质，可知学生对一元二次函数的认知比较薄弱。为了能从本质上加以理解，进入高中的新课标以后，从内容上看，数学语言在抽象程度上发生突变、思维方法向理性层次上跃进。尤其是髙三复习阶段，一元二次不等式的解法是职高数学教学的重点和难点之一。在内容上，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且社会应用广泛。在思想层

2、次上，它涉及到数形结合、分类转化、方程、函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。一、进一步深入理解函数概念二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f：A—B,使得集合B中的元素尸ax2+bx+c(aHO)与集合A的元素x对应，记为f(x)=ax2+bx+c(aHO)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知f(x)=2x2+x

3、+2,求f(x+5)o这里不能把f(x+5)理解为x=x+5时的函数值，只能理解为自变量为x+5的函数值。类型II：设f(x+1)-x2~2x~2,求f(x)o这个问题理解为：已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-2x~2,求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+2的多项式。f(x+2)=x2-2x~2=(x+2)2-6(x+2)+6,再用x代x+2得f(x)=x2-6x+6。(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令g=x+2,则x=

4、g-2,f(g)=(g-2)2-2(g-2)-2=g2~6g+6,从而f(x)=x2-6x+6。二、二次函数的单调性，最值与图象在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-°°,-］及［-，+oo)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型III：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。(1)y二x2+2

5、x+3

6、-4；

7、(2)y=

8、x2-4

9、；(1)y二x2+2

10、x

11、-6。这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值符号的函数受定义域的影响用分段函数去表示，然后根据定义域和对应法则画出其图象，通过图象准确研究其单调性，但必须明确分段函数不表示几个函数。类型IV：设f(x)二x2-2x-l在区间［t,t+1］上的最小值是g(t),求：g(t)o解：画出f(x)=x2-2x~l的图象，由图象可知：f(x)二x2-2x-1二(x-1)2-2,在x二1时取得最小值-2,所以：当ie［t,t+1］即0WtWl

12、,g(t)=-2；当t>l时，g(t)二f(t)二t2-2t-1；当tO)方程f(x)-x=0的两个根xl、x2满足00,又a>0,因此f(x)>0,即f(x)-x>0o至此，证得xf(0),所以当xe(0,xl)时f(x)0),函数f(x)的图象的对称轴为直线X=-,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0二-，因为xl、x2是二次方程ax2+(b~l)x+c二0的根，根据韦达定理得xl+x2=-,*/x2-0o解：原不等式可化为x2+2x-3