基本不等式含答案

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1、第四节　基本不等式1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点　基本不等式1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”

2、)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)易误提醒　(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论　活用几个重要的不等式：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)2≤(a，b∈R)．(5)≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[自测练习]1．下列不等式中正确的是(　　)A．

3、若a∈R，则a2＋9>6aB．若a，b∈R，则≥2C．若a，b>0，则2lg≥lga＋lgbD．若x∈R，则x2＋>1解析：∵a>0，b>0，∴≥.∴2lg≥2lg＝lg(ab)＝lga＋lgB.答案：C2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0　　　　　　　B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立．答案：C3．下列函数中，最小值为4的是(　　)A．y＝x＋B．y＝sinx＋(

4、02＝4，其最小值大于4；由于ex>0，∴y＝ex＋4e－x≥2＝4，当且仅当ex＝2时取等号，∴其最小值为4；∵≥1，∴y＝＋≥2，当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为2，故选C.答案：C4．已知x>1，则x＋的最小值为________．解析：∵x>1，∴x－1>0，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立．答案：5考点一　利用基本

5、不等式证明简单不等式

6、　(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.(2)设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.[证明]　(1)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋.∴＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”．∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，∵a，b为正数，a＋b＝1，∴ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．∴≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝时等号成立．(2)由于a，b均为正

7、实数，所以＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，又因为＋ab≥2＝2，当且仅当＝ab时等号成立，所以＋＋ab≥＋ab≥2，当且仅当即a＝b＝时取等号．　　考点二　利用基本不等式求最值

8、　(1)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．2C．2D．4(2)(2015·高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．[解析]　(1)由lg2x＋lg8y＝lg2得，2x×23y＝2x＋3y＝2，即x＋3y＝1，＋＝×(x＋3y)＝2＋

9、＋≥2＋2＝4，当且仅当即最小值为4.故选D.(2)(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋2·＝9＋a＋b＋4＝18，所以＋≤3，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时等号成立．所以＋的最大值为3.[答案]　(1)D　(2)3　　1．若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)解析：x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立．由x＋2

10、y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－40，则＋－＝t－t2≤