非线性系统的鲁棒镇定：volterra级数法

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1、非线性系统的鲁棒镇定：Volterra级数法敛。若假设A1，A2满足，若对某个δ＞0，Q(δ)正定，且。则一定存在控制器C，使P0是鲁棒可镇定的。　　证明　由于Q(δ)是正定的，由文献［12］的引理3知，存在u(s)满足｜u(jw)｜＜1，w，使得u(αi)=δβi，，记。由文献［12］中的定理1知，C(s)=，使得闭环系统H:=(1+L)-1L，L：=PC的线性子系统H1=(I+L1)-1L1是鲁棒渐近稳定的。　　由于｜r(jw)q(jw)｜==｜1/δB(jw)u(jw)｜＜1/δ，故｜P01(jw)q(jw)｜，从而，，再由C(s)是正则的，故

2、‖C‖∞=｜C(jw)｜＜∞。记G：=(I+L)-1，其中L=PC=(P0+(P-P0))C=P0C+(P-P0)C，上述等式利用C是线性算子。记L0：=P0C，ΔL:=(P-P0)C。由于收敛，且‖C‖∞存在，由定理2.3中的证明知，收敛，又由P∈C(P0，r)，故收敛，而，故是收敛的。再利用类似于定理2.3的证明知，也收敛。又H=GL，故知收敛。由于H1=(I+L1)-1L1是渐近稳定的，故闭环系统是局部稳定的。4　仿真研究　　例1　设SISO多项式类非线性系统P0为：y″-y+0.01y3=u′+0.2u。则它的非线性传递函数为：，P02(s1，s

3、2)=0，P03(s1，s2，s3)=，利用迭代算法知收敛。故由定理2.3可知，存在2阶控制器C(s)使闭环系统是局部稳定的，假设闭环系统H的线性子系统H1(s)的极点分别为-2，-3，-1，-1。则由方程(s+2)(s+3)(s+1)2=(s+1)(s-1)Dc(s)+(s+0.5)Nc(s)，求得。从而C(s)使闭环系统局部稳定。(参见图2)图2　正弦信号的响应　　　例2　假设标称非线性系统P0同例1。由于α=1是P01(s)的唯一不稳定的极点。故，由文献［12］知，对某个δ＞0，Q(δ)＞0充要条件是｜δβ1｜＜1，即｜(1)｜＜，取δ=1，，b＞

4、0，则当时，有｜(1)｜＜，且。由定理3.1知，存在控制器C(s)，使P0是鲁棒可镇定的利用文献［12］的插值公式，得在Re(s)≥0上解析函数u(s)=，满足u(1)=β1，且｜u(jw)｜≤1，w。　　其中u1(s)是任一满足与u1(∞)=并在Re［s］≥0上的解析函数。　　记，则C(s)=即为所求的控制器，特别地取，则C(s)=。取，非线性系统P：y+2y″-y′-2y+0.015y3=，则P∈C(P0，)。且C(s)=，使闭环系统是局部稳定的。(参见图3)图3　正弦信号的响应5　结　论　　本文主要是基于Volterra级数理论，讨论了SISO多

5、项式类非线性系统的鲁棒镇定问题，并给出了此类非线性系统可镇定的充分条件，由于本文只讨论了当非线性系统的1阶子系统即线性系统不稳定时的镇定问题，至于一般情况下的镇定问题及MIMO非线性系统的镇定问题有待进一步研究。作者简介：方洋旺.男，1966年生，博士。主要从事非线性系统的频域分析与控制、鲁棒控制、H∞控制以及通信信号处理等方面的研究。　　　　　刘占辰.男，1962年生，副教授，硕士研究生导师，发表论文20余篇。目前主要从事武器控制系统方面的研究。　　　　　韩崇昭.男，1943年生，教授，博士生导师。主要研究随机与自适应控制理论、工业过程控制与稳态优化、

6、非线性系统的频域分析与控制等。作者单位：方洋旺　韩崇昭(西安交通大学　西安　710049)　　　　　　刘占辰　　(空军工程学院　西安　710038)参考文献1　BilingsSA,TsangKM.SpectralAnalysisforNonlinearsystems,PartΠ：InterpretationofNonlinearFequencyResponseFunctions,MechanicalSystemsandSignalProcessing.1989,3(4):341～3592　JonesJCP,BillingsSA.ARecursiveAlg

7、orithmforComputingModels,int.J.Control,1989,51:1925～19403　BillingsSA,Tsang….SpectralAnalysisforNonlinesarSystems,PartI:ParametricNonlinearSpectralAnalysis,MechanicalSystemsandSignalProcessing,1989,3(4):319～3394　HanC.A，GeneralFormulaofgeneralizedFrequencyResponseFunctionsforNonlin

8、earDifferentialEquations,ResearchReporto